Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Негізгі талшық шоғыры
Математикада, шеңберлік шоғыр — талшық шоғыры, онда талшық шеңбер болып табылады. Бағытталған шеңберлік шоғырлар сондай-ақ негізгі U(1) шоғырлары немесе эквивалентті түрде негізгі SO(2) шоғырлары деп аталады. Физикада шеңберлік шоғырлар электромагнетизм үшін табиғи геометриялық ортаны құрайды. Шеңберлік шоғыр — шар шоғырының ерекше жағдайы.
Principal fiber bundle
In mathematics, a circle bundle is a fiber bundle where the fiber is the circle
Oriented circle bundles are also known as principal U(1) bundles, or equivalently, as principal SO(2) bundles. In physics, circle bundles are the natural geometric setting for electromagnetism. A circle bundle is a special case of a sphere bundle.
3-көптүрлі түрінде
Үстірттердегі шеңберлік жиынтықтар 3-өлшемді кеңістіктердің маңызды мысалы болып табылады. 3-өлшемді кеңістіктердің жалпы класы – Сейферт талшықты кеңістіктері, оларды бір түрі "ерекше" шеңберлік жиынтық ретінде немесе екі өлшемді орбифолд үстіндегі шеңберлік жиынтық ретінде қарастыруға болады.
Circle bundles over surfaces are an important example of 3 manifolds. A more general class of 3 manifolds is Seifert fiber spaces, which may be viewed as a kind of "singular" circle bundle, or as a circle bundle over a two dimensional orbifold.
Мысалдар
Хопф фибрациясы – тривиальді емес шеңбер бундельінің мысалы. Беттің бірлік тангенциалдық түйіні – шеңбер бундельіне тағы бір мысал. Бағытталмайтын беттің бірлік тангенциалдық түйіні – негізгі бундель емес шеңбер бундельі. Тек бағытталатын беттерде ғана негізгі бірлік тангенциалдық бундельдер болады. Шеңбер бундельдерін құрастырудың тағы бір әдісі – күрделі сызық бундельін пайдалану және оған қатысты сфераны (осы жағдайда шеңбер) алу. Бұл бундельге бағыт сырттан беріледі, сондықтан ол негізгі бундель болады. Сонымен қатар, бундельдің Черн-Вейл теориясының сипаттамалық кластары сәйкес келеді. Мысалы, күрделі жазықтық қисығын қарастырайық. Осы қисықтың және сипаттамалық кластардың кері тартылуы тривиальді емес болғандықтан, сәйкес сызық бундельінің Черн класы болады.
The Hopf fibration is an example of a non trivial circle bundle. The unit tangent bundle of a surface is another example of a circle bundle. The unit tangent bundle of a non orientable surface is a circle bundle that is not a principal bundle. Only orientable surfaces have principal unit tangent bundles. Another method for constructing circle bundles is using a complex line bundle and taking the associated sphere (circle in this case) bundle. Since this bundle has an orientation induced from we have that it is a principal bundle. Moreover, the characteristic classes from Chern Weil theory of the bundle agree with the characteristic classes of For example, consider the analytification a complex plane curve Since and the characteristic classes pull back non trivially, we have that the line bundle associated to the sheaf has Chern class .
Жіктеу
М-ге жататын негізгі топтамалардың изоморфизм кластары, карталардың гомотопиялық кластарымен бір-бірге сәйкес келеді, мұнда U(1) үшін жіктеу кеңістігі деп аталады. Бұл – шексіз өлшемді кешенді проективтік кеңістік екенін және ол Эйленберг–Маклейн кеңістігінің мысалы екенін ескеріңіз. Мұндай топтамалар M-нің екінші интегралды кохомология тобының элементімен жіктеледі, себебі . Бұл изоморфизм Ойлер класы арқылы іске асырылады; эквивалентті түрде, бұл тегіс кешенді сызықтық топтаманың бірінші Черн класы (негізінен, шеңбер гомотопиялық тұрғыдан қарағанда, нүктесі алынып тасталған кешенді жазықтыққа тең, сондықтан нөлдік қимасы алынып тасталған кешенді сызықтық топтама гомотопиялық тұрғыдан шеңберлік топтамаға тең). Шеңберлік топтама негізгі топтама болып табылады, егер және тек қана егер байланысты карта нөлдік гомотопиялық болса, бұл топтама талшықтық бағытталуға ие болса ғана дұрыс. Осылайша, жалпы жағдайда, M-ге жататын шеңберлік топтама бағытталуға ие болмаса, изоморфизм кластары карталардың гомотопиялық кластарымен бір-бірге сәйкес келеді. Бұл топтардың кеңейтілуінен туындайды, мұндағы .
The isomorphism classes of principal bundles over a manifold M are in one to one correspondence with the homotopy classes of maps , where is called the classifying space for U(1). Note that is the infinite dimensional complex projective space, and that it is an example of the Eilenberg–Maclane space Such bundles are classified by an element of the second integral cohomology group of M, since This isomorphism is realized by the Euler class; equivalently, it is the first Chern class of a smooth complex line bundle (essentially because a circle is homotopically equivalent to , the complex plane with the origin removed; and so a complex line bundle with the zero section removed is homotopically equivalent to a circle bundle.) A circle bundle is a principal bundle if and only if the associated map is null homotopic, which is true if and only if the bundle is fibrewise orientable. Thus, for the more general case, where the circle bundle over M might not be orientable, the isomorphism classes are in one to one correspondence with the homotopy classes of maps This follows from the extension of groups, , where .
Делинье кешендері
Жоғарыда аталған жіктеу тек шеңберлік бундельдерге ғана қолданылады; тегіс шеңберлік бундельдер үшін немесе, мысалы, аффиндік байланысы бар шеңберлік бундельдер үшін тиісті жіктеуге күрделірек кохомология теориясы қажет. Нәтижелерге сәйкес, тегіс шеңберлік бундельдер екінші Делинье кохомологиясымен жіктеледі; аффиндік байланысы бар шеңберлік бундельдер – ал желілік бундельдер гербтерімен жіктеледі.
The above classification only applies to circle bundles in general; the corresponding classification for smooth circle bundles, or, say, the circle bundles with an affine connection requires a more complex cohomology theory. Results include that the smooth circle bundles are classified by the second Deligne cohomology ; circle bundles with an affine connection are classified by while classifies line bundle gerbes.