Введение
В математике, покрытие Лерая – это покрытие топологического пространства, которое позволяет упростить вычисление его кохомологий. Такие покрытия названы в честь Жана Лерея. Когомология пучков измеряет степень, в которой локально точная последовательность на фиксированном топологическом пространстве, например, последовательность де Рама, перестаёт быть глобально точной. Её определение, использующее производные функторы, достаточно естественно, хотя и технически сложно. Более того, важные свойства, такие как существование длинной точной последовательности в когомологиях, соответствующей любой короткой точной последовательности пучков, непосредственно следуют из определения. Однако вычислить когомологии непосредственно из определения практически невозможно. С другой стороны, когомологии Чеха относительно открытого покрытия хорошо подходят для вычислений, но имеют ограниченную применимость, поскольку зависят от выбранного открытого покрытия, а не только от пучков и пространства. Переходя к прямой границе когомологий Чеха по произвольно мелким покрытиям, мы получаем теорию когомологий Чеха, не зависящую от выбранного открытого покрытия. При разумных условиях (например, если топологическое пространство паракомпактно), когомологии, определяемые производными функторами, совпадают с этими когомологиями Чеха, полученными посредством прямой границы. Однако, как и когомологии, определяемые производными функторами, эти независимые от покрытия когомологии Чеха практически невозможно вычислить непосредственно из определения. Условие Лерая на открытом покрытии гарантирует, что рассматриваемое покрытие уже достаточно мелко. Когомологии, определяемые производными функторами, совпадают с когомологиями Чеха относительно любого покрытия Лерая. Пусть – открытое покрытие топологического пространства , а – пучок на X. Мы говорим, что является покрытием Лерая относительно , если для каждого непустого конечного множества индексов и для всех , выполняется равенство в когомологиях, определяемых производными функторами. Например, если – разделенная схема, а – квазикогерентный пучок, то любое покрытие открытыми аффинными подсхемами является покрытием Лерая.