Введение
В геометрии, усечённая тригексагональная мозаика является одной из восьми полуправильных мозаик евклидовой плоскости. На каждой вершине сходятся один квадрат, один шестиугольник и один двенадцатиугольник. Она имеет символ Шлефли tr{3,6}.
Круговая упаковка
Усечённая тригексагональная мозаика может использоваться для упаковки окружностей, размещая окружности равного диаметра в центре каждой вершины. Каждая окружность касается трех других окружностей в упаковке (число касаний).
Кисромбильная черепица
Кисромбильная мозаика, или 3.6-кисромбильная мозаика, — это мозаика евклидовой плоскости. Она строится из конгруэнтных треугольников 30-60-90, где в каждой вершине сходятся 4, 6 и 12 треугольников. Подразделение граней этих мозаик создает кисромбильную мозаику. (Сравните дидиакис гексаэдр, додекаэдр и триаконтаэдр — три каталонских тела, подобные этой мозаике.)
Строительство из ромбильной черепицы
Конвей называет это кисромбиллем, поскольку он использует операцию бисектора вершины kis, примененную к ромбильной мозаике. Более точно его можно назвать 3 6 кисромбиллем, чтобы отличить его от других подобных гиперболических мозаек, таких как 3 7 кисромбилль. Его можно представить как мозаику из равносторонних шестиугольников, где каждый шестиугольник разделен на 12 треугольников, исходящих из центральной точки. (В качестве альтернативы, его можно представить как разделенную на 6 треугольников треугольную мозаику или как бесконечную систему линий, расположенных в шести параллельных направлениях.) Он обозначается V4.6.12, так как каждая грань, являющаяся прямоугольным треугольником, имеет три типа вершин: одна с 4 треугольниками, одна с 6 треугольниками и одна с 12 треугольниками.
Симметрия
Треугольники кисромбильной мозаики представляют собой фундаментальные области симметрии группы обоев p6m, [6,3] (*632 в обозначениях орбифолды). Существует ряд подгрупп малого индекса, построенных из [6,3] путем удаления зеркал и чередования. [1+,6,3] порождает симметрию *333, показанную красными линиями отражения. [6,3+] порождает симметрию 3*3. [6,3]+ является вращательной подгруппой. Коммутаторная подгруппа – [1+,6,3+], что соответствует симметрии 333. Более крупная подгруппа индекса 6, построенная как [6,3*], также становится (*333), показанная синими линиями отражения, и обладает собственной ротационной симметрией 333, индекс которой равен 12.
Связанные полиэдра и плитки
Существует восемь однородных мощений, которые можно получить на основе правильной шестиугольной мозаики (или двойственной треугольной мозаики). Если раскрасить ячейки красным цветом на исходных гранях, жёлтым — в исходных вершинах и синим — вдоль исходных рёбер, получится 8 форм, 7 из которых топологически различны. (Усечённая треугольная мозаика топологически идентична шестиугольной мозаике.)
Мутации симметрии
Эта плитка может рассматриваться как элемент последовательности однородных узоров с фигурой вершины (4.6.2p) и диаграммой Коксетера — Динкина. При p < 6 элементы последовательности представляют собой полиэдры с полным усечением (зоноэдры), представленные ниже в виде сферических мозаик. При p > 6 это мозаики гиперболической плоскости, начиная с усеченной тригептагональной мозаики.