Введение

В данной статье обобщаются классы дискретных групп симметрии евклидовой плоскости. Группы симметрии здесь именуются по трем системам обозначений: международная нотация, орбитальная нотация и нотация Коксетера. Существует три типа групп симметрии плоскости: 2 семейства групп розеток – двумерные точечные группы, 7 групп фризов – двумерные линейные группы, 17 групп обоев – двумерные пространственные группы.

Розетовые группы

Существует два семейства дискретных двухмерных точечных групп, которые задаются параметром n, являющимся порядком группы вращений в данной группе. Семейство Intl(орбифолд) Шён. Гео. Коксетер. Порядок. Примеры: Циклическая симметрия n(n•) Cn [n]+ nC1, [ ]+ (•)C2, [2]+ (2•)C3, [3]+ (3•)C4, [4]+ (4•)C5, [5]+ (5•)C6, [6]+ (6•) Диэдральная симметрия nm(*n•) Dn n[n]2nD1, [ ] (*•)D2, [2] (*2•)D3, [3] (*3•)D4, [4] (*4•)D5, [5] (*5•)D6, [6] (*6•)

Группы обоев

17 групп обоев с конечными фундаментальными областями представлены в международной нотации, орбитальной нотации и коксетеровской нотации, классифицированных по 5 решеткам Браве в плоскости: квадратной, наклонной (параллелограмматической), гексагональной (равносторонней треугольной), прямоугольной (центрированной ромбической) и ромбической (центрированной прямоугольной). Группы p1 и p2, не имеющие зеркальной симметрии, повторяются во всех классах. Соответствующие чистые отражательные группы Коксетера приведены для всех классов, кроме наклонных. + Квадратная [4,4], IUC(Orb.) GeoCoxeterDomainConway name p1(°) p Монотропная p2(2222) p[4,1+,4]+[1+,4,4,1+] Дитропная pgg(22×) pg2g[4+,4+] Диглайд pmm(*2222) p2[4,1+,4][1+,4,4,1+] Дископическая cmm(2*22) c2[(4,4,2+)] Диромбическая p4(442) p[4,4]+ Тетратропная p4g(4*2) pg4[4+,4] Тетрагиропная p4m(*442) p4[4,4] Тетраскопическая + Прямоугольная [∞h,2,∞v], IUC(Orb.) GeoCoxeterDomainConway name p1(°) p[∞+,2,∞+] Монотропная p2(2222) p[∞,2,∞]+ Дитропная pg(h)(××) pg1h: [∞+,(2,∞)+] Моноглайд pg(v)(××) pg1v: [(∞,2)+,∞+] Моноглайд pgm(22*) pg2h: [(∞,2)+,∞] Дигиропная mg(22*) pg2v: [∞,(2,∞)+] Дигиропная pm(h)(**) p1h: [∞+,2,∞] Моноскопическая pm(v)(**) p1v: [∞,2,∞+] Моноскопическая pmm(*2222) p2[∞,2,∞] Дископическая + Ромбическая [∞h,2+,∞v], IUC(Orb.) GeoCoxeterDomainConway name p1(°) p[∞+,2+,∞+] Монотропная p2(2222) p[∞,2+,∞]+ Дитропная cm(h)(*×) c1h: [∞+,2+,∞] Моноромбическая cm(v)(*×) c1v: [∞,2+,∞+] Моноромбическая pgg(22×) pg2g[((∞,2)+)[2]] Диглайд cmm(2*22) c2[∞,2+,∞] Диромбическая + Параллелограмматическая (наклонная) p1(°) p Монотропная p2(2222) p Дитропная + Гексагональная/Треугольная [6,3], [3[3]], IUC(Orb.) GeoCoxeterDomainConway name p1(°) p Монотропная p2(2222) p[6,3]Δ Дитропная cmm(2*22) c2[6,3] ⅄ Дирхомбическая p3(333) p[1+,6,3+][3[3]]+ Тритопная p3m1(*333) p3[1+,6,3][3[3]] Трископическая p31m(3*3) h3[6,3+] Тригиропная p6(632) p[6,3]+ Гексатропная p6m(*632) p6[6,3] Гексаскопическая