Введение
Конечные сферические группы симметрии также называются точечными группами в трех измерениях. Существует пять основных классов симметрии, имеющих треугольные фундаментальные области: двугранная, циклическая, тетраэдрическая, октаэдрическая и икосаэдрическая симметрия. В этой статье группы перечислены с использованием нотации Шенфлайса, нотации Коксетера, орбифолдной нотации и порядка. Джон Конвей использует вариант нотации Шенфлайса, основанный на кватернионной алгебраической структуре групп, обозначаемый одной или двумя заглавными буквами и целыми числовыми индексами. Порядок группы определяется индексом, если только порядок не удваивается для символов с префиксом «плюс или минус», «±», что подразумевает центральную инверсию. Также приведена нотация Германа — Могена (международная нотация). Кристаллографические группы, всего 32, являются подмножеством, содержащим элементы порядка 2, 3, 4 и 6.
Finite spherical symmetry groups are also called point groups in three dimensions. There are five fundamental symmetry classes which have triangular fundamental domains: dihedral, cyclic, tetrahedral, octahedral, and icosahedral symmetry. This article lists the groups by Schoenflies notation, Coxeter notation, orbifold notation, and order. John Conway uses a variation of the Schoenflies notation, based on the groups' quaternion algebraic structure, labeled by one or two upper case letters, and whole number subscripts. The group order is defined as the subscript, unless the order is doubled for symbols with a plus or minus, "±", prefix, which implies a central inversion. Hermann–Mauguin notation (International notation) is also given. The crystallography groups, 32 in total, are a subset with element orders 2, 3, 4 and 6.
Инволюционная симметрия
Существует четыре инволюционные группы: отсутствие симметрии (C1), зеркальная симметрия (Cs), двукратная вращательная симметрия (C2) и центральная симметрия (Ci). Intl Geo Orbifold Schönflies ConwayCoxeter Порядок Резюме Фонд. домен 1 11 C1 C1 ][[ ]+ 1 Z1 2 22 D1= C2 D2= C2 [2]+ 2 Z2 × Ci= S2 CC2 [2+,2+] 2 Z2 = m 1 * Cs= C1v= C1h ±C1= CD2 [ ] 2 Z2
Циклическая симметрия
Существует четыре бесконечных семейства циклической симметрии, с n = 2 или выше. (n может быть 1 как особый случай, как отсутствие симметрии)
Intl Geo Orbifold Schönflies ConwayCoxeter Order Abstract Fund. domain 2× S4 CC4 [2+,4+] 4 Z4 2/m 2 2* C2h= D1d ±C2= ±D2 [2,2+][2+,2] 4 Z4
Intl Geo Orbifold Schönflies ConwayCoxeter Order Abstract Fund. domain 23456n 2233445566nn C2C3C4C5C6Cn C2C3C4C5C6Cn [2]+[3]+[4]+[5]+[6]+[n]+ 23456n Z2Z3Z4Z5Z6Zn 2mm3m4mm5m6mmnm (n нечетное) nmm (n четное) 23456n *22*33*44*55*66*nn C2vC3vC4vC5vC6vCnv CD4CD6CD8CD10CD12CD2n [2][3][4][5][6][n] 46810122n D4D6D8D10D12D2n 3×4×5×6×n× S6S8S10S12S2n ±C3CC8±C5CC12CC2n / ±Cn [2+,6+][2+,8+][2+,10+][2+,12+][2+,2n+] 6810122n Z6Z8Z10Z12Z2n 3/m=4/m5/m=6/mn/m 22222 3*4*5*6*n* C3hC4hC5hC6hCnh CC6±C4CC10±C6±Cn / CC2n [2,3+][2,4+][2,5+][2,6+][2,n+] 6810122n Z6Z2×Z4Z10Z2×Z6Z2×Zn≅Z2n (n нечетное)
Диэдрическая симметрия
Существует три бесконечных семейства диэдрической симметрии, с n = 2 или выше (n может быть 1 в качестве специального случая). Интел Гео Орбифолд Шенфлиз Конвей Коксетер Порядок Абстрактная Фундаментальная область 222 222 D2 D4 [2,2]+ 4 D4 2m 4 2*2 D2d DD8 [2+,4] 8 D4 mmm 22 *222 D2h ±D4 [2,2] 8 Z2×D4
Интел Гео Орбифолд Шенфлиз Конвей Коксетер Порядок Абстрактная Фундаментальная область 3242252622 22322422522622n D3D4D5D6Dn D6D8D10D12D2n [2,3]+[2,4]+[2,5]+[2,6]+[2,n]+ 6810122n D6D8D10D12D2n m2mm.2m 6810.12. n 2*32*42*52*62*n D3dD4dD5dD6dDnd ±D6DD16±D10DD24DD4n / ±D2n [2+,6][2+,8][2+,10][2+,12][2+,2n] 121620244n D12D16D20D24D4n m24/mmmm 26/mmm 32425262n 2*223*224*225*226*22n D3hD4hD5hD6hDnh DD12±D8DD20±D12±D2n / DD4n [2,3][2,4][2,5][2,6][2,n] 121620244n D12Z2×D8D20Z2×D12Z2×D2n ≅ D4n (нечетное n)