Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Введение
Фреймворк Хита–Джарроу–Мортона (HJM) представляет собой общую структуру для моделирования эволюции кривых процентных ставок, в частности, кривых мгновенных форвардных ставок (в отличие от простых форвардных ставок). Когда волатильность и дрейф мгновенной форвардной ставки предполагаются детерминированными, это известно как гауссовская модель форвардных ставок Хита–Джарроу–Мортона (HJM). Модель Брейса–Гатарека–Мусьелы является примером прямого моделирования простых форвардных ставок. Фреймворк HJM берет свое начало в работах Дэвида Хита, Роберта А. Джарроу и Эндрю Мортона конца 1980-х годов, в частности, в работах «Ценообразование облигаций и термическая структура процентных ставок: новая методология» (1987) – рабочий документ, Корнеллский университет, и «Ценообразование облигаций и термическая структура процентных ставок: новая методология» (1989) – рабочий документ (пересмотренное издание), Корнеллский университет. Однако у него есть критики, и Пол Уилмот описывает его как «фактически просто большой ковер, под который можно замести [ошибки]».
The Heath–Jarrow–Morton (HJM) framework is a general framework to model the evolution of interest rate curves – instantaneous forward rate curves in particular (as opposed to simple forward rates). When the volatility and drift of the instantaneous forward rate are assumed to be deterministic, this is known as the Gaussian Heath–Jarrow–Morton (HJM) model of forward rates. For direct modeling of simple forward rates the Brace–Gatarek–Musiela model represents an example. The HJM framework originates from the work of David Heath, Robert A. Jarrow, and Andrew Morton in the late 1980s, especially Bond pricing and the term structure of interest rates: a new methodology (1987) – working paper, Cornell University, and Bond pricing and the term structure of interest rates: a new methodology (1989) – working paper (revised ed. ), Cornell University. It has its critics, however, with Paul Wilmott describing it as " actually just a big rug for [mistakes] to be swept under".
Основные положения
Ключом к этим техникам является понимание того, что дрейфы неарбитражной эволюции определенных переменных могут быть выражены как функции их волатильности и корреляций между ними. Иными словами, оценивать дрейф не требуется. Модели, разработанные в рамках методологии HJM, отличаются от так называемых моделей краткосрочной ставки тем, что модели типа HJM описывают полную динамику всей кривой форвардных ставок, в то время как модели краткосрочной ставки описывают лишь динамику одной точки на кривой (краткосрочной ставки). Однако модели, разработанные в соответствии с общей структурой HJM, часто не являются марковскими и могут даже иметь бесконечное число размерностей. Значительный вклад в решение этой проблемы внесли многие исследователи. Они показали, что если структура волатильности форвардных ставок удовлетворяет определенным условиям, то модель HJM может быть полностью представлена конечной марковской системой, что делает ее вычислительно реализуемой. Примеры включают модель с одним фактором и двумя состояниями (O. Cheyette, "Динамика структуры сроков и оценка ипотечных ценных бумаг", Journal of Fixed Income, 1, 1992; P. Ritchken и L. Sankarasubramanian в "Структуры волатильности форвардных ставок и динамика структуры сроков", Mathematical Finance, 5, No. 1, январь 1995), а также последующие многофакторные варианты.
The key to these techniques is the recognition that the drifts of the no arbitrage evolution of certain variables can be expressed as functions of their volatilities and the correlations among themselves. In other words, no drift estimation is needed. Models developed according to the HJM framework are different from the so called short rate models in the sense that HJM type models capture the full dynamics of the entire forward rate curve, while the short rate models only capture the dynamics of a point on the curve (the short rate). However, models developed according to the general HJM framework are often non Markovian and can even have infinite dimensions. A number of researchers have made great contributions to tackle this problem. They show that if the volatility structure of the forward rates satisfy certain conditions, then an HJM model can be expressed entirely by a finite state Markovian system, making it computationally feasible. Examples include a one factor, two state model (O. Cheyette, "Term Structure Dynamics and Mortgage Valuation", Journal of Fixed Income, 1, 1992; P. Ritchken and L. Sankarasubramanian in "Volatility Structures of Forward Rates and the Dynamics of Term Structure", Mathematical Finance, 5, No. 1, Jan 1995), and later multi factor versions.