Введение

Группа трёхмерной симметрии

В математике, и особенно в геометрии, объект обладает икосаэдрической симметрией, если он имеет те же симметрии, что и правильный икосаэдр. Примеры других многогранников с икосаэдрической симметрией включают правильный додекаэдр (двойственный к икосаэдру) и ромбический триаконтаэдр. Любой многогранник с икосаэдрической симметрией имеет 60 вращательных (или сохраняющих ориентацию) симметрий и 60 симметрий, меняющих ориентацию (сочетающих вращение и отражение), что в сумме даёт порядок симметрии 120. Полная группа симметрии является группой Коксетера типа H₃. Она может быть представлена нотацией Коксетера [5,3] и диаграммой Коксетера. Множество вращательных симметрий образует подгруппу, изоморфную чередующейся группе на 5 элементах.

Описание

Икосаэдрическая симметрия — это математическое свойство объектов, означающее, что объект обладает теми же симметриями, что и правильный икосаэдр.

Визуализации

Полная группа симметрии — группа Коксетера типа . Она может быть представлена коксетеровской нотацией [5,3] и диаграммой Коксетера. Множество вращательных симметрий образует подгруппу, изоморфную чередующейся группе на 5 элементах. Schoe.(Orb.) Коксетеровская нотация Элементы Зеркальные диаграммы Ортогональная Стереографическая проекция Ih(*532) [5,3] Зеркальные линии: 15 I(532) [5,3] + Гирационные точки: 125 20 33 02

Структура группы

Каждый полиэдр с икосаэдрической симметрией имеет 60 вращательных (или сохраняющих ориентацию) симметрий и 60 симметрий, меняющих ориентацию (сочетающих вращение и отражение), что в сумме даёт порядок симметрии 120. Рёбра сферического соединения из пяти октаэдров представляют 15 зеркальных плоскостей в виде цветных больших окружностей. Каждый октаэдр может представлять 3 взаимно перпендикулярных зеркальных плоскостей своими рёбрами. Пиритоэдрическая симметрия является подгруппой индекса 5 икосаэдрической симметрии, с 3 взаимно перпендикулярными зелёными линиями отражения и 8 красными точками вращения третьего порядка. Существует 5 различных ориентаций пиритоэдрической симметрии. Группа икосаэдральных вращений I имеет порядок 60. Группа I изоморфна A5, чередующейся группе чётных перестановок пяти объектов. Этот изоморфизм может быть реализован посредством действия I на различные соединения, в частности, соединение из пяти кубов (вписанных в додекаэдр), соединение из пяти октаэдров или любое из двух соединений из пяти тетраэдров (которые являются энантиоморфами и вписаны в додекаэдр). Группа содержит 5 вариантов Th, 20 вариантов D3 (10 осей, по 2 на ось) и 6 вариантов D5. Полная икосаэдрическая группа Ih имеет порядок 120. Она содержит I как нормальную подгруппу индекса 2. Группа Ih изоморфна I × Z2 или A5 × Z2, где инверсия в центре соответствует элементу (единичный элемент, 1), а Z2 записана мультипликативно. Ih действует на соединение из пяти кубов и соединение из пяти октаэдров, но −1 действует как единичный элемент (поскольку кубы и октаэдры центрально симметричны). Она действует на соединение из десяти тетраэдров: I действует на две хиральные половины (соединения из пяти тетраэдров), а −1 переставляет эти две половины. Важно отметить, что она не действует как S5, и эти группы не изоморфны; подробности приведены ниже. Группа содержит 10 вариантов D3d и 6 вариантов D5d (симметрии, подобные антипризмам). I также изоморфна PSL2(5), но Ih не изоморфна SL2(5).

Подгруппы полной икосаэдрической группы симметрии

Каждая строка в следующей таблице представляет один класс сопряженных (т.е. геометрически эквивалентных) подгрупп. Колонка "Множ." (множественность) указывает число различных подгрупп в классе сопряжения. Объяснение цветов: зеленый = группы, порожденные отражениями, красный = хиральные (сохраняющие ориентацию) группы, содержащие только вращения. Группы геометрически описываются в терминах додекаэдра. Сокращение "h. t. s.(edge)" означает "полуоборот, меняющий местами этот край с противоположным краем", и аналогично для "грани" и "вершины". Schön. CoxeterOrb. H MStructureCyc. OrderIndexMult. ОписаниеIh[5,3]*5322/mA5×Z2 12011полная группаD2h[2,2]*222mmmD4×D2=D23 8155фиксация двух противоположных краев, возможно, с их перестановкойC5v [5] *55 5mD10 10 126фиксация граниC3v [3] *33 3mD6=S3 6 2010фиксация вершиныC2v [2] *22 2mmD4=D22 4 3015фиксация краяCs [ ] * или mD2 2 6015отражение, меняющее местами две конечные точки краяTh[3+,4]3*2mA4×Z2 2455пиритоэдрическая группаD5d [2+,10] 2*5 m2D20=Z2×D10 20 66фиксация двух противоположных граней, возможно, с их перестановкойD3d [2+,6] 2*3 mD12=Z2×D6 12 1010фиксация двух противоположных вершин, возможно, с их перестановкойD1d = C2h [2+,2] 2* 2/mD4=Z2×D2 4 3015полуоборот вокруг середины ребра, плюс центральная инверсияS10 [2+,10+] 5× Z10=Z2×Z5 10 126вращения вокруг центра грани, плюс центральная инверсияS6 [2+,6+] 3× Z6=Z2×Z3 6 2010вращения вокруг вершины, плюс центральная инверсияS2 [2+,2+] × Z2 2 601центральная инверсияI[5,3]+532532A5 6021все вращенияT[3,3]+332332A4 12105вращения содержащегося тетраэдраD5[2,5]+522522D10 10 126вращения вокруг центра грани и полуоборот (h. t. s.)(грань)D3[2,3]+322322D6=S3 6 2010вращения вокруг вершины и полуоборот (h. t. s.)(вершина)D2[2,2]+222222D4=Z22 4 3015полуоборот вокруг середины ребра и полуоборот (h. t. s.)(ребро)C5[5]+555Z5 5 246вращения вокруг центра граниC3[3]+333Z3=A3 3 4010вращения вокруг вершиныC2[2]+222Z2 2 6015полуоборот вокруг середины ребраC1[ ]+111Z1 1 120тривиальная группа

Полиэдры с икосаэдрической симметрией

Примеры других многогранников с икосаэдрической симметрией включают правильный додекаэдр (двойственный икосаэдру) и ромбический триаконтаэдр.

Хиральные полиэдры

Символы классов Изображение Архимедов sr{5,3} КаталанскийV3.3.3.3.5

Полная икосаэдрическая симметрия

Платоновы тела
Многогранники Кеплера — Пуансо
Архимедовы тела
{5,3} {5/2,5} {5/2,3} t{5,3} t{3,5} r{3,5} rr{3,5} tr{3,5}
Платоновы тела
Многогранники Кеплера — Пуансо
Каталонские тела
{3,5} = {5,5/2} = {3,5/2} = V3.10.10 V5.6.6 V3.5.3.5 V3.4.5.4 V4.6.10

Связанные геометрии

Икосаэдрическая симметрия эквивалентна проективной специальной линейной группе PSL(2,5) и является группой симметрии модульной кривой X(5). В более общем случае PSL(2,p) является группой симметрии модульной кривой X(p). Модульная кривая X(5) геометрически представляет собой додекаэдр с точкой вырождения в центре каждой многоугольной грани, что демонстрирует группу симметрии. Эта геометрия и связанная с ней группа симметрии были изучены Феликсом Клейном в контексте групп монодромии поверхности Белый – поверхности Римана с голоморфным отображением на сферу Римана, ветвящимся только в точках 0, 1 и бесконечности (функция Белый). Точки вырождения соответствуют точкам, лежащим над бесконечностью, а вершины и центры каждого ребра – точкам, лежащим над 0 и 1. Степень покрытия (число листов) равна 5. Это возникло из его стремления дать геометрическое обоснование появления икосаэдрической симметрии при решении уравнения пятой степени, теория изложена в знаменитой работе; современное изложение представлено в . Исследования Клейна продолжились с его открытия симметрий порядка 7 и порядка 11 в и (и связанных с ними покрытиях степени 7 и 11), а также в dessins d'enfants, первое из которых приводит к квартике Клейна, чья геометрия имеет мощение из 24 гептагонов (с точкой вырождения в центре каждого). Подобные геометрии возникают для PSL(2,n) и более общих групп для других модульных кривых. Более экзотично, существуют особые связи между группами PSL(2,5) (порядок 60), PSL(2,7) (порядок 168) и PSL(2,11) (порядок 660), которые также допускают геометрические интерпретации: PSL(2,5) – симметрии икосаэдра (род 0), PSL(2,7) – квартика Клейна (род 3), а PSL(2,11) – поверхность фуллерена (род 70). Эти группы образуют «триединство» в смысле Владимира Арнольда, которое предоставляет основу для различных взаимосвязей; подробности см. в разделе «Триединства». Существует тесная связь с другими платоновыми телами.