Введение

В математике таутлогический пучок — это векторный пучок, возникающий над грассманианом естественным таутлогическим образом: для грассманиана мерных подпространств , при заданном элементе грассманиана, соответствующем мерному векторному подпространству , волокно над этим элементом является самим подпространством . В случае проективного пространства таутлогический пучок известен как таутлогический пучок прямых. Таутлогический пучок также называют универсальным пучком, поскольку любой векторный пучок (над компактным пространством) является обратным образом таутлогического пучка; это означает, что грассманиан является классифицирующим пространством для векторных пучков. Благодаря этому таутлогический пучок играет важную роль в изучении характеристических классов. Таутлогические пучки строятся как в алгебраической топологии, так и в алгебраической геометрии. В алгебраической геометрии таутлогический пучок прямых (как обратимый пучок) является двойственным к пучку гиперплоскости, или крутящемуся пучку Серра. Пучок гиперплоскости — это пучок прямых, соответствующий гиперплоскости (делителю) в . Таутлогический пучок прямых и пучок гиперплоскости являются как раз двумя образующими группы Пикара проективного пространства. В "K-теории" Майкла Атия таутлогический пучок прямых над комплексным проективным пространством называется стандартным пучком прямых. Сфера, ассоциированная со стандартным пучком, обычно называется пучком Хопфа (см. генератор Ботта). В более общем смысле, существуют также таутлогические пучки на проективном пучке векторного пучка, а также на пучке Грассмана. Более старый термин «канонический пучок» вышел из употребления, поскольку термин «канонический» уже сильно перегружен в математической терминологии, и (что хуже) путаница с каноническим классом в алгебраической геометрии едва ли могла быть избегнута.

Интуитивное определение

Грассмановы пространства по определению являются параметрическими пространствами для линейных подпространств заданной размерности в заданном векторном пространстве. Если – грассманово пространство, а – подпространство, соответствующее в , то это уже почти все данные, необходимые для векторного расслоения: а именно, векторное пространство для каждой точки , меняющееся непрерывно. Единственное, что может помешать определению тавтологического расслоения, исходя из этого, – это то, что подпространства могут пересекаться. Устранение этой проблемы – стандартное применение конструкции дизъюнктного объединения, так что проекция расслоения осуществляется из полного пространства, состоящего из идентичных копий , которые теперь не пересекаются. С этим расслоение определено. Случай проективного пространства также включен. По соглашению может полезно нести тавтологическое расслоение в смысле двойственного пространства. То есть, при – двойственном пространстве, точки несут векторные подпространства , являющиеся их ядрами, если рассматривать их как (лучи) линейных функционалов на . Если имеет размерность , то тавтологическое линейное расслоение – одно тавтологическое расслоение, а другое, только что описанное, имеет ранг .

Тавтологический пучок линий в алгебраической геометрии

В алгебраической геометрии это понятие существует над любым полем k. Конкретное определение следующее. Пусть и заметим, что у нас есть:

где Spec – относительный Spec. Теперь положим:

где I – идеальный пучок, порожденный глобальными сечениями. Тогда L – замкнутая подсхема над той же базовой схемой ; более того, замкнутые точки L – это именно те (x, y) из , такие что либо x равен нулю, либо образ x в равен y. Таким образом, L – это тавтологический линейный пучок, как определено ранее, если k – поле вещественных или комплексных чисел. В более сжатой форме, L – это проецирование начала аффинного пространства , где множество x = 0 в L является исключительным делителем. (см. Хартсхорн, гл. I, конец § 4.) В общем случае, – это алгебраический векторный пучок, соответствующий локально свободному пучку E конечного ранга. Поскольку у нас есть точная последовательность:

тавтологический линейный пучок L, как определено выше, соответствует дуальному пучку Серре, скрученному. На практике оба понятия (тавтологический линейный пучок и дуальный скрученный пучок) используются взаимозаменяемо. Над полем его дуальный линейный пучок – это линейный пучок, связанный с гиперплоскостным делителем H, глобальные сечения которого – линейные формы. Его класс Черна равен −H. Это пример антиамплитного линейного пучка. Над это эквивалентно тому, что это отрицательный линейный пучок, то есть минус его класс Черна равен классу де Рама стандартной кэлеровой формы.

Факты

Тавтологический пучок γ1, k локально тривиален, но не тривиален при k ≥ 1. Это справедливо и для других полей. Действительно, легко показать, что при k = 1 вещественный тавтологический пучок является не чем иным, как хорошо известным пучком, общее пространство которого – лента Мёбиуса. Полное доказательство вышеуказанного факта можно найти в [укажите источник]. Группа Пикара линейных пучков бесконечно циклична, и тавтологический пучок является её генератором. В случае проективного пространства, где тавтологический пучок является линейным пучком, соответствующий инвертируемый пучок сечений является тензорным обратным (то есть двойным векторным пучком) гиперплоскостного пучка или скрученным пучком Серра; другими словами, гиперплоскостный пучок является генератором группы Пикара с положительной степенью (как дивизор), а тавтологический пучок – его противоположностью: генератором отрицательной степени.