Введение
Обозначение для двухмерных сферических, евклидовых и гиперболических групп симметрии.
В геометрии орбифолдная нотация (или орбифолдная сигнатура) — это система, изобретенная математиком Уильямом Тёрстоном и популяризированная Джоном Конвеем, для представления типов групп симметрии в двухмерных пространствах постоянной кривизны. Преимущество этой нотации заключается в том, что она описывает эти группы таким образом, который указывает на многие их свойства: в частности, она, следуя Уильяму Тёрстону, описывает орбифолд, получаемый как факторное пространство евклидова пространства по рассматриваемой группе. Группы, представимые в этой нотации, включают точечные группы на сфере, группы фризов и обойные группы евклидовой плоскости, а также их аналоги на гиперболической плоскости.
In geometry, orbifold notation (or orbifold signature) is a system, invented by the mathematician William Thurston and promoted by John Conway, for representing types of symmetry groups in two dimensional spaces of constant curvature. The advantage of the notation is that it describes these groups in a way which indicates many of the groups' properties: in particular, it follows William Thurston in describing the orbifold obtained by taking the quotient of Euclidean space by the group under consideration. Groups representable in this notation include the point groups on the sphere , the frieze groups and wallpaper groups of the Euclidean plane , and their analogues on the hyperbolic plane .
Хорошие орбитальные складки
Орбифолдный символ называется хорошим, если он не является одним из следующих: p, pq, *p, *pq, при p, q ≥ 2 и p ≠ q.
Хиральность и ахиральность
Объект является хиральным, если его группа симметрии не содержит отражений; в противном случае он называется ахиральным. Соответствующий орбифолд ориентируем в хиральном случае и не ориентируем в ахиральном случае.
Двумерные группы
Симметрия двумерного объекта, не обладающего трансляционной симметрией, может быть описана трехмерным типом симметрии путем добавления третьего измерения к объекту, которое не вносит и не нарушает симметрию. Например, для двумерного изображения можно рассмотреть кусок картона с этим изображением, нанесенным на одну сторону; форма картона должна быть такой, чтобы она не нарушала симметрию, или можно представить, что картон бесконечен. Таким образом, мы получаем n• и *n•. Буллета (•) добавляют к группам одного и двух измерений, чтобы указать на наличие фиксированной точки. (В трех измерениях эти группы существуют в n-кратном дигональном орбифолде и обозначаются как nn и *nn.) Аналогично, одномерное изображение можно нарисовать горизонтально на куске картона, предусмотрев отсутствие дополнительной симметрии относительно линии изображения, например, нарисовав горизонтальную полосу под изображением. Таким образом, дискретными группами симметрии в одном измерении являются *•, *1•, ∞• и *∞•. Другой способ построения трехмерного объекта из одномерного или двумерного объекта для описания симметрии – это взятие декартова произведения объекта и асимметричного двумерного или одномерного объекта, соответственно.