Введение
Несколько наборов окружностей, связанных с Аполлонием Пергским
The circles of Apollonius are any of several sets of circles associated with Apollonius of Perga, a renowned Greek geometer. Most of these circles are found in planar Euclidean geometry, but analogs have been defined on other surfaces; for example, counterparts on the surface of a sphere can be defined through stereographic projection. The main uses of this term are fivefold:
Apollonius showed that a circle can be defined as the set of points in a plane that have a specified ratio of distances to two fixed points, known as foci. This Apollonian circle is the basis of the Apollonius pursuit problem. It is a particular case of the first family described in #2. The Apollonian circles are two families of mutually orthogonal circles. The first family consists of the circles with all possible distance ratios to two fixed foci (the same circles as in #1), whereas the second family consists of all possible circles that pass through both foci. These circles form the basis of bipolar coordinates. The circles of Apollonius of a triangle are three circles, each of which passes through one vertex of the triangle and maintains a constant ratio of distances to the other two. The isodynamic points and Lemoine line of a triangle can be solved using these circles of Apollonius. Apollonius' problem is to construct circles that are simultaneously tangent to three specified circles. The solutions to this problem are sometimes called the circles of Apollonius. The Apollonian gasket—one of the first fractals ever described—is a set of mutually tangent circles, formed by solving Apollonius' problem iteratively.
Окружности Аполлония — это любой из нескольких наборов окружностей, связанных с Аполлонием Пергским, выдающимся греческим геометром. Большинство этих окружностей встречаются в планарной евклидовой геометрии, но аналоги были определены и на других поверхностях; например, соответствующие окружности на поверхности сферы можно определить с помощью стереографической проекции. Основные области применения этого термина можно выделить пять:
The circles of Apollonius are any of several sets of circles associated with Apollonius of Perga, a renowned Greek geometer. Most of these circles are found in planar Euclidean geometry, but analogs have been defined on other surfaces; for example, counterparts on the surface of a sphere can be defined through stereographic projection. The main uses of this term are fivefold:
Apollonius showed that a circle can be defined as the set of points in a plane that have a specified ratio of distances to two fixed points, known as foci. This Apollonian circle is the basis of the Apollonius pursuit problem. It is a particular case of the first family described in #2. The Apollonian circles are two families of mutually orthogonal circles. The first family consists of the circles with all possible distance ratios to two fixed foci (the same circles as in #1), whereas the second family consists of all possible circles that pass through both foci. These circles form the basis of bipolar coordinates. The circles of Apollonius of a triangle are three circles, each of which passes through one vertex of the triangle and maintains a constant ratio of distances to the other two. The isodynamic points and Lemoine line of a triangle can be solved using these circles of Apollonius. Apollonius' problem is to construct circles that are simultaneously tangent to three specified circles. The solutions to this problem are sometimes called the circles of Apollonius. The Apollonian gasket—one of the first fractals ever described—is a set of mutually tangent circles, formed by solving Apollonius' problem iteratively.
Аполлоний показал, что окружность можно определить как множество точек на плоскости, имеющих заданное отношение расстояний до двух фиксированных точек, известных как фокусы. Эта аполлониева окружность является основой задачи о преследовании Аполлония. Она представляет собой частный случай первой семьи, описанной в пункте 2. Окружности Аполлония — это две семьи взаимно ортогональных окружностей. Первая семья состоит из окружностей со всеми возможными отношениями расстояний до двух фиксированных фокусов (те же окружности, что и в пункте 1), в то время как вторая семья состоит из всех возможных окружностей, проходящих через оба фокуса. Эти окружности образуют основу биполярных координат. Окружности Аполлония треугольника — это три окружности, каждая из которых проходит через одну вершину треугольника и поддерживает постоянное отношение расстояний до двух других. Изодинамические точки и прямая Лемона треугольника могут быть найдены с использованием этих окружностей Аполлония. Задача Аполлония состоит в построении окружностей, одновременно касающихся трех заданных окружностей. Решения этой задачи иногда называют окружностями Аполлония. Аполлониева прокладка — один из первых описанных фракталов — представляет собой набор взаимно касающихся окружностей, образованных путем итеративного решения задачи Аполлония.
The circles of Apollonius are any of several sets of circles associated with Apollonius of Perga, a renowned Greek geometer. Most of these circles are found in planar Euclidean geometry, but analogs have been defined on other surfaces; for example, counterparts on the surface of a sphere can be defined through stereographic projection. The main uses of this term are fivefold:
Apollonius showed that a circle can be defined as the set of points in a plane that have a specified ratio of distances to two fixed points, known as foci. This Apollonian circle is the basis of the Apollonius pursuit problem. It is a particular case of the first family described in #2. The Apollonian circles are two families of mutually orthogonal circles. The first family consists of the circles with all possible distance ratios to two fixed foci (the same circles as in #1), whereas the second family consists of all possible circles that pass through both foci. These circles form the basis of bipolar coordinates. The circles of Apollonius of a triangle are three circles, each of which passes through one vertex of the triangle and maintains a constant ratio of distances to the other two. The isodynamic points and Lemoine line of a triangle can be solved using these circles of Apollonius. Apollonius' problem is to construct circles that are simultaneously tangent to three specified circles. The solutions to this problem are sometimes called the circles of Apollonius. The Apollonian gasket—one of the first fractals ever described—is a set of mutually tangent circles, formed by solving Apollonius' problem iteratively.
Определение круга Аполлония
Круг обычно определяется как множество точек P, находящихся на заданном расстоянии r (радиус круга) от заданной точки (центра круга). Однако существуют и другие, эквивалентные определения круга. Аполлоний обнаружил, что круг можно определить как множество точек P, для которых отношение расстояний до двух заданных точек (обозначенных A и B на рисунке 1) постоянно и равно k. Эти две точки иногда называют фокусами.
Доказательство теоремы о бисекторе угла
Сначала рассмотрим точку на отрезке между точками A и B, удовлетворяющую заданному отношению. По определению, и из теоремы о биссектрисе угла углы ∠CAD и ∠BAD равны. Далее, возьмем другую точку D на продолжении прямой AB, удовлетворяющую заданному отношению. Таким образом, Также возьмем произвольную точку E на продолжении прямой AB. По теореме о внешней биссектрисе, прямая CE является внешней биссектрисой угла ∠ACB, следовательно, углы ∠ACE и ∠BCE равны. А значит, по теореме Фалеса, точка E лежит на окружности, диаметром которой является отрезок AB.
and from the angle bisector theorem the angles and are equal. Next take the other point on the extended line that satisfies the ratio. So
Also take some other point anywhere on the extended line Also by the Angle bisector theorem the line bisects the exterior angle Hence, and are equal and Hence by Thales's theorem lies on the circle which has as a diameter.
Круги, имеющие одну радикальную ось
Круги, определяемые задачей Аполлония о преследовании для одних и тех же двух точек A и B, но с различными отношениями скоростей, не пересекаются друг с другом и образуют непрерывное семейство, покрывающее всю плоскость; это семейство кругов известно как гиперболический пучок. Другое семейство кругов, проходящих через обе точки A и B, также называется пучком, или, точнее, эллиптическим пучком. Эти два пучка кругов Аполлония пересекаются под прямым углом и являются основой биполярной системы координат. Внутри каждого пучка любые два круга имеют одну и ту же радикальную ось; две радикальные оси этих пучков перпендикулярны, а центры кругов одного пучка лежат на радикальной оси другого пучка.
Решение проблемы Аполлония
В евклидовой планиметрии задача Аполлония заключается в построении окружностей, касающихся трех заданных окружностей на плоскости. Обычно трем заданным окружностям можно построить восемь различных окружностей, касающихся их, и каждая из этих окружностей-решений заключает или не заключает в себя три заданные окружности по-разному: в каждом решении заключен различный набор из трех заданных окружностей.
Аполлонская прокладка
Решая задачу Аполлония неоднократно для нахождения вписанной окружности, промежутки между взаимно касательными окружностями могут быть заполнены произвольно мелко, образуя аполлониеву прокладку, также известную как упаковка Лейбница или аполлониева упаковка. Эта прокладка является фракталом, обладающим свойством самоподобия и имеющим размерность d, которая точно не известна, но приблизительно равна 1,3, что больше размерности обычной (или выпрямляемой) кривой (d = 1), но меньше размерности плоскости (d = 2). Аполлониева прокладка была впервые описана Готфридом Лейбницем в XVII веке и является криволинейным предшественником треугольника Серпинского в XX веке. Аполлониева прокладка также имеет глубокую связь с другими областями математики; например, она является предельным множеством групп Клейна; см. также теорему об упаковке кругов.
Изодинамические точки треугольника
Круги Аполлония также могут обозначать три специальных круга, определенных произвольным треугольником. Круг определяется как единственная окружность, проходящая через вершину треугольника и сохраняющая постоянное отношение расстояний до двух других вершин и (см. определение круга Аполлония выше). Аналогично, круг определяется как единственная окружность, проходящая через вершину треугольника и сохраняющая постоянное отношение расстояний до двух других вершин и , и так далее для круга . Все три окружности пересекают описанную окружность треугольника под прямым углом. Все три окружности проходят через две точки, известные как изодинамические точки и треугольника. Линия, соединяющая эти общие точки пересечения, является радикальной осью для всех трех окружностей. Две изодинамические точки являются инверсными друг другу относительно описанной окружности треугольника. Центры этих трех окружностей лежат на одной прямой (линии Лемоана). Эта прямая перпендикулярна радикальной оси, которая определяется изодинамическими точками.
All three circles intersect the circumcircle of the triangle orthogonally. All three circles pass through two points, which are known as the isodynamic points and of the triangle. The line connecting these common intersection points is the radical axis for all three circles. The two isodynamic points are inverses of each other relative to the circumcircle of the triangle. The centers of these three circles fall on a single line (the Lemoine line). This line is perpendicular to the radical axis, which is the line determined by the isodynamic points.