Кіріспе
Аполлоний Пергалықпен байланысты шеңберлер жиынтығы
The circles of Apollonius are any of several sets of circles associated with Apollonius of Perga, a renowned Greek geometer. Most of these circles are found in planar Euclidean geometry, but analogs have been defined on other surfaces; for example, counterparts on the surface of a sphere can be defined through stereographic projection. The main uses of this term are fivefold:
Apollonius showed that a circle can be defined as the set of points in a plane that have a specified ratio of distances to two fixed points, known as foci. This Apollonian circle is the basis of the Apollonius pursuit problem. It is a particular case of the first family described in #2. The Apollonian circles are two families of mutually orthogonal circles. The first family consists of the circles with all possible distance ratios to two fixed foci (the same circles as in #1), whereas the second family consists of all possible circles that pass through both foci. These circles form the basis of bipolar coordinates. The circles of Apollonius of a triangle are three circles, each of which passes through one vertex of the triangle and maintains a constant ratio of distances to the other two. The isodynamic points and Lemoine line of a triangle can be solved using these circles of Apollonius. Apollonius' problem is to construct circles that are simultaneously tangent to three specified circles. The solutions to this problem are sometimes called the circles of Apollonius. The Apollonian gasket—one of the first fractals ever described—is a set of mutually tangent circles, formed by solving Apollonius' problem iteratively.
Аполлоний шеңберлері – грек геометрі Аполлоний Пергалықпен байланысты бірнеше шеңберлер жиынтығы. Бұл шеңберлердің көпшілігі жазықты Евклид геометриясында кездеседі, бірақ басқа беттерде де аналогтары анықталған; мысалы, сфера бетіндегі аналогтар стереографиялық проекция арқылы анықталуы мүмкін. Бұл терминнің негізгі қолданылуы бес түрлі:
The circles of Apollonius are any of several sets of circles associated with Apollonius of Perga, a renowned Greek geometer. Most of these circles are found in planar Euclidean geometry, but analogs have been defined on other surfaces; for example, counterparts on the surface of a sphere can be defined through stereographic projection. The main uses of this term are fivefold:
Apollonius showed that a circle can be defined as the set of points in a plane that have a specified ratio of distances to two fixed points, known as foci. This Apollonian circle is the basis of the Apollonius pursuit problem. It is a particular case of the first family described in #2. The Apollonian circles are two families of mutually orthogonal circles. The first family consists of the circles with all possible distance ratios to two fixed foci (the same circles as in #1), whereas the second family consists of all possible circles that pass through both foci. These circles form the basis of bipolar coordinates. The circles of Apollonius of a triangle are three circles, each of which passes through one vertex of the triangle and maintains a constant ratio of distances to the other two. The isodynamic points and Lemoine line of a triangle can be solved using these circles of Apollonius. Apollonius' problem is to construct circles that are simultaneously tangent to three specified circles. The solutions to this problem are sometimes called the circles of Apollonius. The Apollonian gasket—one of the first fractals ever described—is a set of mutually tangent circles, formed by solving Apollonius' problem iteratively.
Аполлоний шеңберді екі белгілі нүктеге (ошақтарға) дейінгі арақашықтықтың белгіленген қатынасы бар жазықтықтағы нүктелер жиынтығы ретінде анықтауға болатынын көрсетті. Бұл Аполлоний шеңбері Аполлонийді қуу мәселесінің негізі болып табылады. Ол #2-де сипатталған бірінші отбасының ерекше жағдайы. Аполлоний шеңберлері – өзара ортогональ шеңберлердің екі туысы. Бірінші отбасы екі белгілі ошаққа барлық мүмкін арақашықтық қатынастары бар шеңберлерден тұрады (No1 ошақтағыдай шеңберлер), ал екінші отбасы екі ошақтан да өтетін барлық мүмкін шеңберлерден тұрады. Бұл шеңберлер биполярлық координаттардың негізін құрайды. Үшбұрыштың Аполлоний шеңберлері – үш шеңбер, олардың әрқайсысы үшбұрыштың бір төбесінен өтеді және қалған екеуіне арақашықтықтардың тұрақты қатынасын сақтайды. Осы Аполлоний шеңберлерін пайдаланып үшбұрыштың изодинамикалық нүктелерін және Лемойн сызығын шешуге болады. Аполлонийдің мәселесі – үш нақты шеңберге бір мезгілде жанасатын шеңберлерді салу. Бұл мәселенің шешімдері кейде Аполлоний шеңберлері деп аталады. Аполлоний тығыздауы – ең алғашқы сипатталған фракталдардың бірі – Аполлонийдің мәселесін қайталап шешу арқылы қалыптасқан өзара жанасатын шеңберлер жиынтығы.
The circles of Apollonius are any of several sets of circles associated with Apollonius of Perga, a renowned Greek geometer. Most of these circles are found in planar Euclidean geometry, but analogs have been defined on other surfaces; for example, counterparts on the surface of a sphere can be defined through stereographic projection. The main uses of this term are fivefold:
Apollonius showed that a circle can be defined as the set of points in a plane that have a specified ratio of distances to two fixed points, known as foci. This Apollonian circle is the basis of the Apollonius pursuit problem. It is a particular case of the first family described in #2. The Apollonian circles are two families of mutually orthogonal circles. The first family consists of the circles with all possible distance ratios to two fixed foci (the same circles as in #1), whereas the second family consists of all possible circles that pass through both foci. These circles form the basis of bipolar coordinates. The circles of Apollonius of a triangle are three circles, each of which passes through one vertex of the triangle and maintains a constant ratio of distances to the other two. The isodynamic points and Lemoine line of a triangle can be solved using these circles of Apollonius. Apollonius' problem is to construct circles that are simultaneously tangent to three specified circles. The solutions to this problem are sometimes called the circles of Apollonius. The Apollonian gasket—one of the first fractals ever described—is a set of mutually tangent circles, formed by solving Apollonius' problem iteratively.
Аполлонийдің шеңбер туралы анықтамасы
Дөңгелек әдетте белгілі бір нүктеден (дөңгелектің ортасынан) берілген радиус r (дөңгелектің радиусы) қашықтықтағы P нүктелерінің жиынтығы ретінде анықталады. Дегенмен, дөңгелекке қатысты басқа да эквивалентті анықтамалар бар. Аполлоний дөңгелекті екі берілген нүктеге (1-суретте А және В деп белгіленген) қатысты арақашықтықтарының k = қатынасы тұрақты болатын P нүктелерінің жиынтығы ретінде анықтауға болатынын тапқан. Бұл екі нүкте кейде фокус деп аталады.
Бұрыш бисекторының теоремасын қолдану арқылы дәлелдеу
Алдымен, және арасындағы қатынасты қанағаттандыратын сызық сегментіндегі нүктені қарастырайық. Анықтама бойынша, және бұрыш биссектрисасы теоремасы бойынша бұрыштар мен тең. Содан кейін, қатынасты қанағаттандыратын, түзуді ұзарту бойындағы басқа нүктені алыңыз. Осылайша, . Сондай-ақ, түзуді ұзарту бойындағы кез келген нүктені алыңыз. Бұрыш биссектрисасы теоремасы бойынша, түзу сыртқы бұрышты биссектрисалайды. Сондықтан, және тең. Осыдан Талес теоремасы бойынша, нүктесі, диаметрі болатын шеңберде жатыр.
and from the angle bisector theorem the angles and are equal. Next take the other point on the extended line that satisfies the ratio. So
Also take some other point anywhere on the extended line Also by the Angle bisector theorem the line bisects the exterior angle Hence, and are equal and Hence by Thales's theorem lies on the circle which has as a diameter.
Түсбұрыштық оспен бөлісетін шеңберлер
Аполлондық іздену мәселесімен анықталған шеңберлер, екі нүкте А және В үшін, бірақ екі жылдамдықтың әртүрлі қатынастарында, бір-бірінен бөлініп, бүкіл жазықтықты қамтитын үздіксіз отбасы құрайды; осы шеңберлер отбасы гиперболалық шоқ деп белгілі. А және В нүктелерінен өтетін шеңберлер де шоқ деп аталады, немесе дәлірек айтқанда, эллипстік шоқ. Аполлон шеңберлерінің осы екі шоғы бір-бірін тік бұрышта қиып, биполярлық координаттар жүйесінің негізін қалайды. Әр шоқтың ішіндегі кез келген екі шеңбердің түбірлік осі бірдей болады; екі шоқтың екі түбірлік осі перпендикуляр, ал бір шоқтың шеңберлерінің орталықтары екінші шоқтың түбірлік осінде орналасқан.
Аполлонийдің мәселесінің шешімі
Евклидтік жазықтық геометриясында Аполлоний мәселесі – жазықтықтағы үш берілген шеңберге жанасатын шеңберлерді салу. Көбінесе үш берілген шеңберге сегіз түрлі шеңбер жанаса алады, және әрбір шешім шеңбері берілген үш шеңберді әртүрлі жолмен қамтиды немесе олардан тыс қалдырады: әрбір шешімде үш шеңбердің әртүрлі топтамасы қамтылады.
Аполлондық тығын
Аполлонийдің проблемасын қайта-қайта шешу арқылы, ішкі шеңберді таба отырып, өзара жанасатын шеңберлер арасындағы бос кеңістіктерді кез келген деңгейде ұсақтап толтыруға болады, осылайша Аполлоний тығыздауы (немесе Лейбниц тығыздауы, Аполлоний қаптамасы) құрылады. Бұл тығыздау – фрактал, өйткені ол өзіне ұқсас және оның өлшемі d нақты белгісіз, бірақ шамамен 1,3-ке тең. Бұл көрсеткіш, тұрақты (немесе түзуге келтірілетін) қисықтан (d = 1) жоғары, бірақ жазықтықтан (d = 2) төмен. Аполлоний тығыздауын алғаш рет 17 ғасырда Готфрид Лейбниц сипаттаған, және ол 20 ғасырдың Серпинский үшбұрышының қисық түріне жатады. Аполлоний тығыздауы математиканың басқа салаларымен де тығыз байланысты; мысалы, ол Клейн тобының шектік жиыны болып табылады; сондай-ақ, шеңберлерді қаптау теоремасын қараңыз.
Үшбұрыштың изодинамикалық нүктелері
Аполлоний шеңберлері кездейсоқ үшбұрышпен анықталатын үш ерекше шеңберді де білдіре алады. Шеңбер үшбұрыш төбесі арқылы өтетін бірегей шеңбер ретінде анықталады, ол қалған екі төбесіне дейінгі қашықтықтардың тұрақты қатынасын сақтайды – және (Аполлонийдің жоғарыдағы шеңбер анықтамасына қараңыз). Сол сияқты, шеңбер үшбұрыштың төбесі арқылы өтетін бірегей шеңбер ретінде анықталады, ол қалған екі төбесі – және – арасындағы қашықтықтардың тұрақты қатынасын сақтайды, және осылайша үшінші шеңбер үшін де. Бұл үш шеңбердің барлығы үшбұрыштың сырттай шеңберімен түзу бұрышпен қиылысады. Үш шеңбер де екі нүктеден өтеді, бұл нүктелер үшбұрыштың изодинамикалық нүктелері – және – деп аталады. Осы ортақ қиылысу нүктелерін жалғастыратын түзу үш шеңбердің радикалдық осі болып табылады. Екі изодинамикалық нүкте үшбұрыштың сырттай шеңберіне қатысты бір-біріне кері. Бұл үш шеңбердің орталықтары бір түзуге (Лемуан түзуіне) түседі. Бұл түзу радикалдық осіне перпендикуляр, яғни изодинамикалық нүктелермен анықталатын түзуге перпендикуляр.
All three circles intersect the circumcircle of the triangle orthogonally. All three circles pass through two points, which are known as the isodynamic points and of the triangle. The line connecting these common intersection points is the radical axis for all three circles. The two isodynamic points are inverses of each other relative to the circumcircle of the triangle. The centers of these three circles fall on a single line (the Lemoine line). This line is perpendicular to the radical axis, which is the line determined by the isodynamic points.