Введение
Связывает символы Легендра с пермутационными подписями В теории чисел лемма Золотарева гласит, что символ Легендра для целого числа a модуля нечетного простых чисел p, где p не делится на a, может быть вычислен как знак пермутации: где ε обозначает подпись пермутации, а πa - пермутация ненулевых остаточных классов mod p, индуцированных умножением на a. Например, возьмем a = 2 и p = 7. Ненулевые квадраты модуль 7 - это 1, 2 и 4, так что (2 11:37) = 1 и (6 11:37) = -1. Умножение на 2 на ненулевых числах модуль 7 имеет цикл разложения (1,2,4) и (3,6,5), поэтому знак этой пермутации равен 1, что равен (2уууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууууу Умножение на 6 на ненулевых числах модуль 7 имеет циклическое разложение (1,6) ((2,5) ((3,4), знак которого -1, что равняется (6
In number theory, Zolotarev's lemma states that the Legendre symbol
for an integer a modulo an odd prime number p, where p does not divide a, can be computed as the sign of a permutation:
where ε denotes the signature of a permutation and πa is the permutation of the nonzero residue classes mod p induced by multiplication by a. For example, take a = 2 and p = 7. The nonzero squares mod 7 are 1, 2, and 4, so (2|7) = 1 and (6|7) = −1. Multiplication by 2 on the nonzero numbers mod 7 has the cycle decomposition (1,2,4)(3,6,5), so the sign of this permutation is 1, which is (2|7). Multiplication by 6 on the nonzero numbers mod 7 has cycle decomposition (1,6)(2,5)(3,4), whose sign is −1, which is (6|7).
Доказательство
В общем, для любой конечной группы G порядка n, легко определить подпись перестановки πg, полученную путем левого умножения на элемент g G. Перестановка πg будет четной, если только не будет нечетного числа орбит четного размера. Предполагая, что n - четное число, следовательно, условие для того, чтобы πg была нечетной пермутацией, когда g имеет порядок k, заключается в том, что n/k должен быть нечетным, или что подгруппа <g>, генерируемая g, должна иметь нечетный индекс. Мы применим это к группе ненулевых чисел mod p, которая является циклической группой порядка p − 1. j-я степень примитивного корня модуля p будет иметь индекс наибольшего общего делителя i = (j, p − 1). Условие для того, чтобы ненулевое число mod p было квадратным не остатком, состоит в том, чтобы быть нечетной степенью примитивного корня. Следовательно, лемма сводится к тому, что i нечетный, когда j нечетный, что верно a fortiori, и j нечетный, когда i нечетный, что верно, потому что p - 1 является четным (p нечетным).
i = (j, p − 1). The condition for a nonzero number mod p to be a quadratic non residue is to be an odd power of a primitive root. The lemma therefore comes down to saying that i is odd when j is odd, which is true a fortiori, and j is odd when i is odd, which is true because p − 1 is even (p is odd).
История
Эта лемма была введена Егором Ивановичем Золотаревым в 1872 году в доказательстве квадратической взаимности.