Введение
В алгебраической геометрии этальный морфизм (этальный) - это морфизм схем, формально этальный и локально конечного представления. Это алгебраический аналог понятия локального изоморфизма в сложной аналитической топологии. Они удовлетворяют гипотезам теоремы о имплицитной функции, но поскольку открытые множества в топологии Зариски настолько велики, они не обязательно являются локальными изоморфизмами. Несмотря на это, эталевые карты сохраняют многие свойства локальных аналитических изоморфизмов и полезны для определения алгебраической фундаментальной группы и эталевой топологии. Слово "эталь" - французское прилагательное, означающее "слабый", как в "слабой приливе", или, образно говоря, спокойный, неподвижный, что-то оставленное, чтобы остыть.
Свойства
Морфизмы эталей сохраняются при изменении состава и основания. Этальные морфизмы локальны на источнике и на основе. Другими словами, это валидно, если и только если для каждого покрытия открытыми подсхемами ограничение на каждую из открытых подсхем покрытия является валидным, а также если и только если для каждого покрытия открытыми подсхемами индуцированные морфизмы валидны для каждой подсхемы покрытия. В частности, можно проверить свойство этале на открытых аффинах. Продукт конечного семейства эталевых морфизмов является эталевым. При наличии конечного семейства морфизмов, разъединенный союз является этальным, если и только если каждый из них является этальным. Пусть и , и предположим, что это неразветвленный и это эталь. Тогда это этале. В частности, если и является эталевым над , то любой морфизм между и является эталевым. Квазикомпактные эталевые морфизмы являются квазиконечными. Морфизм является открытым погружением, если и только если он этальный и радикальный. Если это эталь и сюръектив, то (окончательный или иной).