Введение
Идемопотенция (/UK//,//ɪ//d//ɛ//m/'/p//əʊ//t//ən//s/, /US/'/aɪ//d//ə//m///) – свойство некоторых операций в математике и информатике, заключающееся в том, что их многократное применение не изменяет результат после первого применения. Понятие идемпотенции возникает во многих областях абстрактной алгебры (в частности, в теории проекторов и операторов замыкания) и функционального программирования (где оно связано со свойством референтной прозрачности). Термин был введен американским математиком Бенджамином Пирсом в 1870 году в контексте элементов алгебр, которые остаются инвариантными при возведении в положительную целую степень, и буквально означает «качество обладать той же мощностью», от idem + potence (то же самое + мощность).
the concepts in algebra
Idempotence (/UK//,//ɪ//d//ɛ//m/'/p//əʊ//t//ən//s/, /US/'/aɪ//d//ə//m// /) is the property of certain operations in mathematics and computer science whereby they can be applied multiple times without changing the result beyond the initial application. The concept of idempotence arises in a number of places in abstract algebra (in particular, in the theory of projectors and closure operators) and functional programming (in which it is connected to the property of referential transparency). The term was introduced by American mathematician Benjamin Peirce in 1870 in the context of elements of algebras that remain invariant when raised to a positive integer power, and literally means "(the quality of having) the same power", from idem + potence (same + power).
Примеры
В моноиде натуральных чисел с умножением идемпотентны только 0 и 1. Действительно, 0*0 = 0 и 1*1 = 1. В моноиде натуральных чисел со сложением идемпотентен только 0. Действительно, 0 = 0 + 0. В магме тождественный элемент или поглощающий элемент, если он существует, является идемпотентным. Действительно, 0*0 = 0 и 1*1 = 1. В группе элемент идентичности является единственным идемпотентным элементом. Действительно, если *a* – элемент группы такой, что a*a = a, то a*a = a и, наконец, умножая слева на обратный элемент к *a*, получаем a = a. В моноидах (P(S), ∪) и (P(S), ∩) множества степеней множества S с операциями объединения и пересечения соответственно, ∅ и S являются идемпотентными. Действительно, ∅ ∪ ∅ = ∅ для всех множеств ∅, и S ∩ S = S для всех множеств S. В моноидах булевой области с логическим ИЛИ и логическим И соответственно, ⊤ (истина) и ⊥ (ложь) являются идемпотентными. Действительно, ⊤ И ⊤ = ⊤ для всех логических значений, и ⊥ ИЛИ ⊥ = ⊥ для всех логических значений. В области наибольших общих делителей (например, в ℤ), операции нахождения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного являются идемпотентными. В булевом кольце умножение идемпотентно. В тропическом полукольце сложение идемпотентно. В кольце квадратных матриц определитель идемпотентной матрицы равен либо 0, либо 1. Если определитель равен 1, то матрица обязательно является единичной матрицей.
Приклад применения
Примеры из реальной жизни, с которыми многие люди могут сталкиваться ежедневно, включают кнопки вызова лифта и кнопки пешеходного перехода. Первоначальное нажатие кнопки переводит систему в режим ожидания запроса, который сохраняется до момента его выполнения. Последующие нажатия кнопки между первоначальным нажатием и выполнением запроса не оказывают влияния, если только система не настроена на изменение времени выполнения запроса в зависимости от количества нажатий.