Введение
Измеримое множество с положительной мерой, которое не содержит подмножества с меньшей положительной мерой. В математике, точнее в теории меры, атом — это измеримое множество, обладающее положительной мерой и не содержащее подмножества с положительной мерой, меньшей его собственной. Мера, не содержащая атомов, называется неатомной или атомарно-свободной.
In mathematics, more precisely in measure theory, an atom is a measurable set which has positive measure and contains no set of smaller positive measures. A measure which has no atoms is called non atomic or atomless.
Примеры
Рассмотрим множество X = {1, 2, ..., 9, 10} и пусть сигма-алгеброй будет являться семейство всех подмножеств X (степенное множество X). Определим меру множества как его кардинальность, то есть число элементов в множестве. Тогда каждый из одноэлементных множеств {i}, для i = 1, 2, ..., 9, 10, является атомом. Рассмотрим меру Лебега на вещественной прямой. Эта мера не имеет атомов.
Атомные меры
Конечная мера на измеримом пространстве называется атомной или чисто атомной, если каждое измеримое множество положительной меры содержит атом. Это эквивалентно тому, что существует счетное разбиение, образованное атомами с точностью до множества меры нуль. Предположение о конечности существенно. Рассмотрим, например, пространство, где обозначает счетную меру. Это пространство является атомным, при этом все атомы – одноэлементные множества, однако это пространство нельзя разбить на непересекающееся объединение счетного числа непересекающихся атомов и множество меры нуль, поскольку счетное объединение одноэлементных множеств является счетным множеством, а несчетность действительных чисел показывает, что дополнение должно быть несчетным, следовательно, его мера будет бесконечной, что противоречит тому, что это множество меры нуль. Применимость результата к счетным пространствам следует из доказательства для пространств с конечной мерой, поскольку счетное объединение счетных объединений снова является счетным объединением, а счетные объединения множеств меры нуль имеют меру нуль.
Дискретное действие
Конечная атомная мера называется дискретной, если пересечение атомов любого атомного класса не пусто. Это эквивалентно тому, что мера является взвешенной суммой счетного числа мер Дирака, то есть существует последовательность точек в , и последовательность положительных действительных чисел (весов), таких что , что означает, что для каждого мы можем выбрать каждую точку как общую точку атомов в -м атомном классе. Дискретная мера является атомной, но обратное утверждение неверно: рассмотрим , алгебру счетных и ко-счетных подмножеств, в счетных подмножествах и в ко-счетных подмножествах. Тогда существует единственный атомный класс, образованный ко-счетными подмножествами. Мера атомная, но пересечение атомов в этом единственном атомном классе пусто, и ее нельзя представить в виде суммы мер Дирака. Если каждый атом эквивалентен синглетону, то мера дискретна тогда и только тогда, когда она атомна. В этом случае вышеупомянутые являются атомными синглетонами, следовательно, они уникальны. Любая конечная мера в сепарабельном метрическом пространстве, снабженном борелевскими множествами, удовлетворяет этому условию.
in the th atomic class. A discrete measure is atomic but the inverse implication fails: take , the algebra of countable and co countable subsets, in countable subsets and in co countable subsets. Then there is a single atomic class, the one formed by the co countable subsets. The measure is atomic but the intersection of the atoms in the unique atomic class is empty and can't be put as a sum of Dirac measures. If every atom is equivalent to a singleton, then is discrete iff it is atomic. In this case the above are the atomic singletons, so they are unique. Any finite measure in a separable metric space provided with the Borel sets satisfies this condition.