Введение

В теоретической физике поля Рамонда — Рамонда — это поля дифференциальных форм в 10-мерном пространстве-времени теорий супергравитации типа II, являющиеся классическими пределами теории струн типа II. Ранг этих полей зависит от рассматриваемой теории типа II. Как утверждал Джозеф Полчински в 1995 году, D-браны — это заряженные объекты, выступающие в качестве источников этих полей в соответствии с правилами электродинамики p-форм. Предполагается, что квантовые поля RR не являются дифференциальными формами, а классифицируются с помощью скрученной K-теории. Прилагательное "Рамонда — Рамонда" отражает тот факт, что в формализме RNS эти поля возникают в секторе Рамонда — Рамонда, где все векторные фермионы периодичны. Оба использования слова "Рамонд" относятся к Пьеру Рамонду, который изучал такие граничные условия (так называемые граничные условия Рамонда) и поля, удовлетворяющие им, в 1971 году.

Поля в каждой теории

Как и в теории электромагнетизма Максвелла и ее обобщении, p-формной электродинамике, поля Рамонда-Рамонда (RR) возникают парами, состоящими из p-формного потенциала Cp и (p + 1)-формной напряженности поля Gp+1. Напряженность поля, как обычно, определяется как внешняя производная потенциала: Gp+1 = dCp. Как обычно в подобных теориях, если допускаются топологически нетривиальные конфигурации или заряженная материя (D-браны), то связности определяются только на каждом координатном патче пространства-времени, а значения на различных патчах склеиваются с использованием функций перехода. В отличие от случая электромагнетизма, при наличии нетривиальной напряженности поля Neveu-Schwarz 3-й формы, напряженность поля, определенная выше, перестает быть калибровочно-инвариантной и, следовательно, также должна определяться по патчам, при этом строка Дирака, отходящая от данного патча, интерпретируется как D-брана. Это дополнительное усложнение отвечает за некоторые из наиболее интересных явлений в теории струн, такие как переход Ханани-Уиттена. Выбор допустимых значений p зависит от теории. В супергравитации типа IIA поля существуют для p = 1 и p = 3. В супергравитации типа IIB, с другой стороны, существуют поля для p = 0, p = 2 и p = 4, хотя поле p = 4 ограничено условием самодвойственности G5 = *G5, где * – звезда Ходжа. Условие самодвойственности нельзя наложить лагранжианом без введения дополнительных полей или нарушения явной суперпуанкаре-инвариантности теории, поэтому супергравитация типа IIB считается нелагранжевой теорией. Третья теория, называемая массивной или Romans IIA супергравитацией, включает в себя напряженность поля G0, называемую массой Romans. Будучи 0-формой, она не имеет соответствующей связности. Кроме того, уравнения движения предписывают, что масса Romans постоянна. В квантовой теории Джозеф Полчински показал, что G0 является целым числом, которое изменяется на единицу при пересечении D8-браны.

Демократическая формулировка

Часто удобно использовать демократическую формулировку теорий струн II типа, которая была введена Полом Таунсендом в работе "Демократия p-бран". В работах "D-браны, действия Весса-Зумино, T-дуальность и космологическая постоянная" Майкл Грин, Крис Халл и Пол Таунсенд построили тензоры поля и нашли калибровочные преобразования, оставляющие их инвариантными. Наконец, в работе "Новые формулировки D=10 суперсимметрии и D8 O8 доменные стенки" авторы завершили формулировку, предоставив лагранжиан и объяснив роль фермионов. В этой формулировке включаются все чётные тензоры поля в IIA и все нечётные тензоры поля в IIB. Дополнительные тензоры поля определяются условием звёздной двойственности: Gp=*G10−p. В качестве проверки согласованности заметим, что условие звёздной двойственности совместимо с самодуальностью G5, следовательно, демократическая формулировка содержит такое же число степеней свободы, как и исходная формулировка. Подобно попыткам одновременного включения как электрического, так и магнитного потенциалов в электромагнетизм, дуальные калибровочные потенциалы нельзя добавить к демократически сформулированному лагранжиану таким образом, чтобы сохранить явную локальность теории. Это связано с тем, что дуальные потенциалы получаются из исходных потенциалов интегрированием условия звёздной двойственности.

Уравнения и тождества Бьянки

Как обычно в калибровочных теориях с p-формами, поля формы должны удовлетворять классическим уравнениям поля и тождествам Бьянки. Первые выражают условие, что вариации действия по различным полям должны быть равны нулю. Теперь мы ограничимся рассмотрением уравнений поля, возникающих из вариации полей Рамонда-Рамонда (RR), но на практике их необходимо дополнить уравнениями поля, возникающими из вариаций поля Неveu-Schwarz B, гравитона, дилата и их суперпартнеров – гравитино и дилатино. В демократической формулировке тождество Бьянки для напряженности поля Gp+1 является классическим уравнением поля для его двойственного по Ходжу G9−p, поэтому достаточно наложить тождества Бьянки для каждого поля RR. Это просто означает, что RR-потенциалы Cp локально определены, а следовательно, внешняя производная, действующая на них, является нильпотентной.

D-браны являются источниками RR-полей

Во многих приложениях желательно добавить источники для полей RR. Эти источники называются D-бранами. Как и в классическом электромагнетизме, можно добавить источники, включив в лагранжиан плотности сцепление Cp p-форменного потенциала с (10–p)-форменным током. Обычно в литературе по теории струн этот член явно в действие не записывают. Ток модифицирует уравнение движения, возникающее при варьировании Cp. Подобно магнитным монополям в электромагнетизме, этот источник также нарушает двойное тождество Бьянки, поскольку является точкой, в которой двойственное поле не определено. В модифицированном уравнении движения вместо нуля на левой стороне уравнения появляется . Для упрощения дальнейших рассуждений мы также поменяем местами p и 7–p, тогда уравнение движения в присутствии источника будет

(9–p)-форма является током Dp-браны, что означает, что она пуанкаре-двойственна мировому объему (p+1)-мерного расширенного объекта, называемого Dp-браной. Расхождение в нумерации историческое и связано с тем, что одно из (p+1) направлений, охватываемых Dp-браной, часто является времениподобным, оставляя p пространственных направлений. Вышеуказанное тождество Бьянки интерпретируется как то, что Dp-брана, по аналогии с магнитными монополями в электромагнетизме, несет магнитный заряд относительно RR p-формы C7–p. Если же рассматривать это тождество Бьянки как уравнение поля для Cp+1, то говорят, что Dp-брана несет электрический заряд относительно (p+1)-формы Cp+1. Вышеуказанное уравнение движения подразумевает, что существует два способа получить заряд Dp-браны из окружающих потоков. Во-первых, можно проинтегрировать dG8–p по поверхности, что даст заряд Dp-браны, пересекаемой этой поверхностью. Второй метод связан с первым теоремой Стокса. Можно проинтегрировать G8–p по циклу, что даст заряд Dp-браны, связанный с этим циклом. Квантование заряда Dp-браны в квантовой теории, таким образом, подразумевает квантование напряженностей поля G, но не улучшенных напряженностей поля F.

Скрученная интерпретация К-теории

Было предположено, что поля RR, а также D-браны, классифицируются скрученной K-теорией. В этом формализме вышеуказанные уравнения движения имеют естественную интерпретацию. Уравнения движения без источников для улучшенных тензоров поля F подразумевают, что формальная сумма всех Fp является элементом скрученной кохомологии де Рама H. Это версия кохомологии де Рама, в которой дифференциал не является внешним дифференцированием d, а вместо этого равен (d+H), где H — 3-форма Неveu-Schwarz. Обратите внимание, что (d+H), как необходимо для корректного определения кохомологии, возводится в квадрат в ноль. Улучшенные тензоры поля F живут в классической теории, где переход от квантовой к классической интерпретируется как тензорное произведение с рациональными числами. Следовательно, F должны представлять собой некоторую рациональную версию скрученной K-теории. Такая рациональная версия, фактически характеристический класс скрученной K-теории, уже известна. Это скрученный класс Черна, определенный в работах Питера Букнегта, Алана Л. Кэри, Варгезе Матай, Майкла К. Мюррея и Дэнни Стивенсона «Twisted K theory and the K theory of Bundle Gerbes» и расширенный в «Chern character in twisted K Theory: Equivariant and holomorphic cases». Авторы показали, что скрученные характеры Черна всегда являются элементами скрученной кохомологии де Рама. В отличие от улучшенных тензоров поля, исходные тензоры поля G не скручены и являются интегральными кохомологическими классами. Кроме того, G не являются калибровочно-инвариантными, что означает, что они не определены однозначно, а могут быть определены только как классы эквивалентности. Они соответствуют кохомологическим классам в конструкции спектральной последовательности Атия-Хирцебруха скрученной K-теории, которые определены лишь с точностью до членов, замкнутых относительно любого из ряда дифференциальных операторов. Члены источника, по-видимому, являются препятствиями для существования класса K-теории. Другие уравнения движения, такие как те, которые получаются при варьировании поля NS B, не имеют интерпретаций в терминах K-теории. Включение этих поправок в структуру K-теории остается открытой проблемой. Более подробную информацию об этой проблеме можно найти здесь.