Введение

В математическом анализе понятия односторонней дифференцируемости и полудифференцируемости вещественной функции f от вещественной переменной являются более слабыми, чем дифференцируемость. В частности, функция f называется праводифференцируемой в точке a, если, грубо говоря, производную можно определить как предел отношения при стремлении аргумента функции x к a справа, а леводифференцируемой в точке a, если производную можно определить как предел отношения при стремлении x к a слева.

Одномерный корпус

В математике левая и правая производные — это производные (скорости изменения функции), определяемые для движения только в одном направлении (слева или справа, то есть к меньшим или большим значениям аргумента функции).

Замечания и примеры

Функция дифференцируема во внутренней точке a своей области определения тогда и только тогда, когда она полудифференцируема в точке a и левая производная равна правой производной. Примером полудифференцируемой функции, которая не является дифференцируемой, служит функция абсолютной величины при a = 0. Легко показать, что если функция полудифференцируема в точке a, то она непрерывна в этой точке. Функция-индикатор 1[0,∞) праводифференцируема при любом вещественном a, но разрывна в нуле (стоит отметить, что эта функция-индикатор не является леводифференцируемой в нуле).

Применение

Если действительная, дифференцируемая функция f, определенная на интервале I действительной прямой, имеет нулевую производную всюду, то она постоянна, что следует из применения теоремы о среднем значении. Предположение о дифференцируемости можно ослабить до непрерывности и односторонней дифференцируемости функции f. Ниже приведена версия для праводифференцируемых функций, версия для леводифференцируемых функций аналогична.

Дифференциальные операторы, действующие слева или справа

Еще одно распространенное применение — описание производных, рассматриваемых как бинарные операторы в инфиксной нотации, при котором производная применяется либо к левому, либо к правому операнду. Это полезно, например, при определении обобщений скобки Пуассона. Для пары функций f и g левая и правая производные определяются следующим образом:

В нотации Дирака оператор производной может действовать на правый операнд как обычная производная, а на левый — как отрицательная производная.

Свойства

Любая выпуклая функция на выпуклом открытом подмножестве Rn является полудифференцируемой. В то время как любая полудифференцируемая функция одной переменной непрерывна, это неверно для функций нескольких переменных.

Обобщение

Вместо функций, принимающих действительные значения, можно рассматривать функции, принимающие значения в Rn или в банаховом пространстве.