Введение

В алгебраической геометрии разновидность Фано, введенная Джино Фано, является алгебраическим многообразием, обобщающим определенные аспекты полных пересечений алгебраических гиперповерхностей, сумма степеней которых не превосходит полной размерности окружающего проективного пространства. Такие полные пересечения имеют важное применение в геометрии и теории чисел, поскольку они обычно допускают рациональные точки, элементарным примером чего является теорема Шевалье — Варнинга. Разновидности Фано предоставляют абстрактное обобщение этих базовых примеров, для которых вопросы рациональности часто остаются разрешимыми. Формально, разновидность Фано — это полное многообразие X, чей антиканонический пучок KX* является ample. В этом определении можно предположить, что X гладкое над полем, но минимальная модель программы также привела к изучению разновидностей Фано с различными типами сингулярностей, такими как терминальные или klt сингулярности. В последнее время методы дифференциальной геометрии стали применяться к изучению разновидностей Фано над комплексными числами, и были достигнуты успехи в построении модульных пространств разновидностей Фано и доказательстве существования метрик Кэлера — Эйнштейна на них посредством изучения K-стабильности разновидностей Фано.

Примеры

Фундаментальным примером многообразий Фано являются проективные пространства: антиканонический пучок Pn над полем k равен O(n+1), который является очень обильным (над комплексными числами его кривизна равна (n+1) раз симплектической форме Фубини-Студи). Пусть D — гладкая подвариантность коразмерности 1 в Pn. Формула присоединения влечет, что KD = (KX + D)|D = (-(n+1)H + deg(D)H)|D, где H — класс гиперплоскости. Следовательно, гиперповерхность D является фано тогда и только тогда, когда deg(D) < n+1. В более общем случае, гладкое полное пересечение гиперповерхностей в n-мерном проективном пространстве является фано тогда и только тогда, когда сумма их степеней не превосходит n. Взвешенное проективное пространство P(a0, ..., an) является сингулярным (klt) многообразием Фано. Это проективная схема, связанная с градуированным кольцом многочленов, генераторы которого имеют степени a0, ..., an. Если оно хорошо определено, в том смысле, что ни у каких n из чисел a нет общего делителя, большего 1, то любое полное пересечение гиперповерхностей, сумма степеней которых меньше, чем a0 + ... + an, является многообразием Фано. Каждое проективное многообразие в характеристике ноль, которое однородно относительно линейной алгебраической группы, является фано.

Классификация в малых размерах

Следующее обсуждение касается гладких многообразий Фано над комплексными числами. Кривая Фано изоморфна проективной прямой. Поверхность Фано также называется поверхностью дель Пеццо. Каждая поверхность дель Пеццо изоморфна либо P1 × P1, либо проективной плоскости, раздутой в не более чем восьми точках, находящихся в общем положении. В результате, все они рациональны. В размерности 3 существуют гладкие комплексные многообразия Фано, которые не являются рациональными, например, кубические 3-свёртки в P4 (по работам Клеменса и Гриффитса) и квартичные 3-свёртки в P4 (по работам Исковских и Манина). Классифицировали гладкие 3-свёртки Фано со вторым числом Бетти, равным 1, на 17 классов, а гладкие с вторым числом Бетти, не меньшим 2, получив 88 классов деформаций. Подробный обзор классификации гладких 3-свёрток Фано приведен в .