Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Индуистская астрономия, математика, научная школа в Индии
Hindu astronomy, mathematics, science school in India
Керальская школа астрономии и математики, или школа Кералы, — это школа математики и астрономии, основанная Мадхавой из Сангамаграмы в Тируре, Малапурам, Керала, Индия. В её состав входили: Парамешвара, Нилаканта Сомаяджи, Джайштадева, Ачута Пишарати, Мельпатур Нараяна Бхаттатири и Ачута Паниккар. Школа процветала между XIV и XVI веками, и её оригинальные открытия, по-видимому, завершились с Нараяной Бхаттатири (1559–1632). Пытаясь решить астрономические задачи, Керальская школа независимо открыла ряд важных математических концепций. Их наиболее значимые результаты — ряды для тригонометрических функций — были описаны в санскритских стихах в книге Нилаканты под названием «Тантрасанграха» и повторены в комментарии к этой работе, «Тантрасанграха-вакья», автор которого неизвестен. Теоремы были сформулированы без доказательств, но доказательства рядов для синуса, косинуса и арктангенса были приведены столетие спустя в работе «Юктибхаса» (ок. 1530), написанной на языке малаялам Джайштадевой, а также в комментарии к «Тантрасанграхе». Их работа, завершенная за два столетия до изобретения дифференциального и интегрального исчисления в Европе, предоставила то, что теперь считается первым примером степенного ряда (за исключением геометрических рядов).
The Kerala school of astronomy and mathematics or the Kerala school was a school of mathematics and astronomy founded by Madhava of Sangamagrama in Tirur, Malappuram, Kerala, India, which included among its members: Parameshvara, Neelakanta Somayaji, Jyeshtadeva, Achyuta Pisharati, Melpathur Narayana Bhattathiri and Achyuta Panikkar. The school flourished between the 14th and 16th centuries and its original discoveries seem to have ended with Narayana Bhattathiri (1559–1632). In attempting to solve astronomical problems, the Kerala school independently discovered a number of important mathematical concepts. Their most important results—series expansion for trigonometric functions—were described in Sanskrit verse in a book by Neelakanta called Tantrasangraha, and again in a commentary on this work, called Tantrasangraha vakhya, of unknown authorship. The theorems were stated without proof, but proofs for the series for sine, cosine, and inverse tangent were provided a century later in the work Yuktibhasa (c. 1530), written in Malayalam, by Jyesthadeva, and also in a commentary on Tantrasangraha. Their work, completed two centuries before the invention of calculus in Europe, provided what is now considered the first example of a power series (apart from geometric series).
Предыстория
Исламские ученые почти разработали общую формулу для вычисления интегралов от многочленов к 1000 году нашей эры и, по всей видимости, могли найти такую формулу для любого многочлена, который представлял для них интерес. Однако, судя по всему, они не проявляли интереса к многочленам степени выше четырех, по крайней мере, в сохранившихся до нас материалах. Индийские ученые, напротив, к 1600 году могли использовать формулы, подобные суммарной формуле Ибн аль-Хайсама, для произвольных целых степеней при вычислении степенных рядов для интересующих их функций. К тому же времени они также умели вычислять дифференциалы этих функций. Таким образом, некоторые базовые идеи математического анализа были известны в Египте и Индии за много столетий до Исаака Ньютона. Однако, по-видимому, ни исламские, ни индийские математики не осознавали необходимости объединить разрозненные идеи, которые мы сейчас объединяем под названием «математический анализ». Они, очевидно, интересовались лишь конкретными случаями, где эти идеи были востребованы.
Islamic scholars nearly developed a general formula for finding integrals of polynomials by 1000 AD —and evidently could find such a formula for any polynomial in which they were interested. But, it appears, they were not interested in any polynomial of degree higher than four, at least in any of the material that has come down to us. Indian scholars, on the other hand, were by the year 1600 able to use formula similar to Ibn al Haytham's sum formula for arbitrary integral powers in calculating power series for the functions in which they were interested. By the same time, they also knew how to calculate the differentials of these functions. So some of the basic ideas of calculus were known in Egypt and India many centuries before Isaac Newton. It does not appear, however, that either Islamic or Indian mathematicians saw the necessity of connecting some of the disparate ideas that we include under the name calculus. They were apparently only interested in specific cases in which these ideas were needed.
Бесконечные ряды и исчисление
Школа Кералы внесла значительный вклад в области бесконечных рядов и математического анализа. Среди этих вкладов можно выделить следующие бесконечные геометрические ряды:
The Kerala school has made a number of contributions to the fields of infinite series and calculus. These include the following infinite geometric series:
Школа Кералы интуитивно использовала математическую индукцию, хотя индуктивная гипотеза еще не была сформулирована или применена в доказательствах. В "Тантрасанграхе вакхья" этот ряд представлен в стихотворной форме, которую при переводе в математическую нотацию можно записать следующим образом: хотя понятия функции, экспоненциальной или логарифмической функции еще не были сформулированы.
The Kerala school made intuitive use of mathematical induction, though the inductive hypothesis was not yet formulated or employed in proofs. The Tantrasangraha vakhya gives the series in verse, which when translated to mathematical notation, can be written as: though the notion of a function, or of exponential or logarithmic functions, was not yet formulated.
Признание
В 1825 году Джон Уоррен опубликовал мемуары о разделении времени в южной Индии под названием Kala Sankalita, в которых кратко упоминается открытие бесконечных рядов астрономами Кералы. Работы керальской школы впервые были представлены западному миру англичанином С. М. Уишем в 1835 году. По словам Уиша, математики Кералы «заложили основу для полной системы флюкций», а эти работы изобиловали «флюкциональными формами и рядами, которые не встречаются в трудах зарубежных ученых». Однако результаты Уиша были почти полностью проигнорированы, пока более чем через столетие открытия керальской школы вновь не были исследованы К. Т. Раджагопалом и его коллегами. Их работа включает комментарии к доказательствам рядов арктангенса в «Юктибхасе», представленные в двух статьях, комментарий к доказательству рядов синуса и косинуса в «Юктибхасе», а также две статьи, содержащие санскритские шлоки из «Тантрасанграхавакхьи» для рядов арктангенса, синуса и косинуса (с английским переводом и комментариями). В 1952 году Отто Нойгебауэр опубликовал работу по тамильской астрономии. В 1972 году К. В. Сарма издал книгу «История школы индуистской астрономии Кералы», в которой описал особенности школы, такие как непрерывность передачи знаний с XIII по XVII век: от Говинды Бхаттатари к Парамешваре, затем к Дамодаре, Нилаканте Сомаяджи, Джайестадеве и, наконец, к Ацюте Писарати. Передача знаний от учителя к ученику сохраняла знания в «практичной, демонстративной дисциплине, такой как астрономия, в эпоху, когда не было широкого распространения печатных книг и государственных школ». В 1994 году было выдвинуто предположение, что гелиоцентрическая модель была принята в Керале примерно в 1500 году нашей эры.
In 1825 John Warren published a memoir on the division of time in southern India, called the Kala Sankalita, which briefly mentions the discovery of infinite series by Kerala astronomers. The works of the Kerala school were first written up for the Western world by Englishman C. M. Whish in 1835. According to Whish, the Kerala mathematicians had "laid the foundation for a complete system of fluxions" and these works abounded "with fluxional forms and series to be found in no work of foreign countries". However, Whish's results were almost completely neglected, until over a century later, when the discoveries of the Kerala school were investigated again by C. T. Rajagopal and his associates. Their work includes commentaries on the proofs of the arctan series in Yuktibhasa given in two papers, a commentary on the Yuktibhasas proof of the sine and cosine series and two papers that provide the Sanskrit verses of the Tantrasangrahavakhya for the series for arctan, sin, and cosine (with English translation and commentary). In 1952 Otto Neugebauer wrote on Tamil astronomy. In 1972 K. V. Sarma published his A History of the Kerala School of Hindu Astronomy which described features of the School such as the continuity of knowledge transmission from the 13th to the 17th century: Govinda Bhattathiri to Parameshvara to Damodara to Nilakantha Somayaji to Jyesthadeva to Acyuta Pisarati. Transmission from teacher to pupil conserved knowledge in "a practical, demonstrative discipline like astronomy at a time when there was not a proliferation of printed books and public schools." In 1994 it was argued that the heliocentric model had been adopted about 1500 A. D. in Kerala.
Возможность передачи школьных результатов Кералы в Европу
В 1979 году А. К. Баг предположил, что знания об этих результатах могли быть переданы в Европу через торговый путь из Кералы торговцами и иезуитскими миссионерами. Керала поддерживала постоянный контакт с Китаем, Аравией и Европой. По мнению Дэвида Брессуда, «нет никаких доказательств того, что индийские работы по рядам были известны за пределами Индии или даже за пределами Кералы до XIX века». В. Дж. Кац отмечает, что некоторые идеи Керальской школы имеют сходство с работами иракского ученого Ибн аль-Хайсама XI века.
A. K. Bag suggested in 1979 that knowledge of these results might have been transmitted to Europe through the trade route from Kerala by traders and Jesuit missionaries. Kerala was in continuous contact with China and Arabia, and Europe. The suggestion of some communication routes and a chronology by some scholars According to David Bressoud, "there is no evidence that the Indian work of series was known beyond India, or even outside of Kerala, until the nineteenth century". V. J. Katz notes some of the ideas of the Kerala school have similarities to the work of 11th century Iraqi scholar Ibn al Haytham,
И индийские, и арабские ученые сделали открытия до XVII века, которые сегодня считаются частью математического анализа. По словам Каца, им еще предстояло «объединить множество различных идей вокруг двух объединяющих тем – производной и интеграла, показать связь между ними и превратить математический анализ в мощный инструмент решения задач, каким он является сегодня», как это сделали Ньютон и Лейбниц. Интеллектуальная деятельность Ньютона и Лейбница хорошо задокументирована, и нет оснований полагать, что их работы не являются результатом их собственных усилий; однако, доподлинно неизвестно, знакомы ли были непосредственные предшественники Ньютона и Лейбница, «в частности, Ферма и Роберваль, с некоторыми идеями исламских и индийских математиков из источников, которые нам пока неизвестны». Это активная область современных исследований, особенно в собраниях рукописей Испании и Магриба, которые проводятся, в частности, в Национальном центре научных исследований в Париже.
Both Indian and Arab scholars made discoveries before the 17th century that are now considered a part of calculus. According to Katz, they were yet to "combine many differing ideas under the two unifying themes of the derivative and the integral, show the connection between the two, and turn calculus into the great problem solving tool we have today", like Newton and Leibniz. The intellectual careers of both Newton and Leibniz are well documented and there is no indication of their work not being their own; however, it is not known with certainty whether the immediate predecessors of Newton and Leibniz, "including, in particular, Fermat and Roberval, learned of some of the ideas of the Islamic and Indian mathematicians through sources of which we are not now aware". This is an active area of current research, especially in the manuscript collections of Spain and Maghreb, research that is now being pursued, among other places, at the Centre national de la recherche scientifique in Paris.