Введение
Математическая концепция
В математике, в частности в абстрактной алгебре, противоположностью кольца является другое кольцо с теми же элементами и операцией сложения, но с умножением, выполняемым в обратном порядке. Более точно, противоположностью кольца (R, +, ⋅) является кольцо (R, +, ∗), чье умножение ∗ определяется соотношением a ∗ b = b ⋅ a для всех a, b из R. Противоположное кольцо может быть использовано для определения мультимодулей, являющихся обобщением бимодулей. Они также помогают прояснить связь между левыми и правыми модулями (см.). Моноиды, группы, кольца и алгебры можно рассматривать как категории с единственным объектом. Конструкция противоположной категории обобщает противоположную группу, противоположное кольцо и т.д.
In mathematics, specifically abstract algebra, the opposite of a ring is another ring with the same elements and addition operation, but with the multiplication performed in the reverse order. More explicitly, the opposite of a ring (R, +, ⋅) is the ring (R, +, ∗) whose multiplication ∗ is defined by 1=a ∗ b = b ⋅ a for all a, b in R. The opposite ring can be used to define multimodules, a generalization of bimodules. They also help clarify the relationship between left and right modules (see ). Monoids, groups, rings, and algebras can all be viewed as categories with a single object. The construction of the opposite category generalizes the opposite group, opposite ring, etc.
Самые маленькие не-само-противоположные кольца с единством
Все кольца с единицей порядков от 9 до 15 являются коммутативными, поэтому они самопротивоположные. Кольца, которые не являются самопротивоположными, впервые появляются среди колец порядка 16. Из общего числа 50 колец с единицей, имеющих 16 элементов, 4 являются различными несамопротивоположными кольцами (37 коммутативных и 13 некоммутативных). Они могут быть объединены в две пары колец, противоположных друг другу, и обязательно с одной и той же аддитивной группой, поскольку антиизоморфизм колец является изоморфизмом их аддитивных групп. Одна пара колец и имеет аддитивную группу , а другая пара и 1= R 4 = R 3^\text{op} , группа 1= \mathrm{C} 2 \times \mathrm{C} 2 \times \mathrm{C} 2 \times \mathrm{C} 2 = \mathrm{C} 2^4. Их таблицы операций не приводятся в этой статье, так как их можно найти в указанном источнике, и можно проверить, что они противоположны, но не изоморфны. То же самое верно для пары и 1= R 2 , однако кольцо, указанное в "Книге колец", не равно, а лишь изоморфно 1= R 2. Оставшиеся 1=13 − 4 = 9 некоммутативных колец являются самопротивоположными.
Коммутативное кольцо
Коммутативное кольцо изоморфно своему противоположному кольцу, поскольку для всех a и b из R выполняется a = b. Более того, они равны как (R,*) и (R,⋅), поскольку их операции совпадают, то есть * = ⋅.
Свойства
Два кольца R1 и R2 изоморфны тогда и только тогда, когда их соответствующие противоположные кольца изоморфны. Противоположность противоположности кольца совпадает с самим собой, то есть (Rop)op = R. Кольцо и его противоположное кольцо антиизоморфны. Кольцо коммутативно тогда и только тогда, когда его операция совпадает с его противоположной операцией. Левые идеалы кольца являются правыми идеалами его противоположного кольца. Противоположное кольцо делительного кольца является делительным кольцом. Левый модуль над кольцом является правым модулем над его противоположным кольцом, и наоборот.