Введение
Когда пространство равно замкнутой выпуклой оболочке его крайних точек. В математической теории функционального анализа теорема Крейна — Мильмана — это утверждение о компактных выпуклых множествах в локально выпуклых топологических векторных пространствах (TVS). Эта теорема обобщает на бесконечномерные пространства и произвольные компактные выпуклые множества следующее основное наблюдение: выпуклый (т. е. "заполненный") треугольник, включая его периметр и область "внутри него", равен выпуклой оболочке его трех вершин, при этом эти вершины являются именно крайними точками этой фигуры. Это наблюдение также верно для любого другого выпуклого многоугольника на плоскости.
In the mathematical theory of functional analysis, the Krein–Milman theorem is a proposition about compact convex sets in locally convex topological vector spaces (TVSs). This theorem generalizes to infinite dimensional spaces and to arbitrary compact convex sets the following basic observation: a convex (i. e. "filled") triangle, including its perimeter and the area "inside of it", is equal to the convex hull of its three vertices, where these vertices are exactly the extreme points of this shape. This observation also holds for any other convex polygon in the plane
Отношение к аксиоме выбора
В аксиоматической системе теории множеств Зермело-Фрэнкеля (ZF) аксиомы выбора (AC) достаточно для доказательства всех вышеупомянутых версий теоремы Крейна-Милмана, включая утверждение KM и его обобщение SKM. Аксиома выбора также влечет, но не эквивалентна, теореме Буля о простых идеалах (BPI), которая эквивалентна теореме Банаха-Алоглу. Обратно, теорема Крейна-Милмана KM вместе с теоремой о простых идеалах (BPI) влечет аксиому выбора. Таким образом, AC выполняется тогда и только тогда, когда выполняются и KM, и BPI. Ранее было доказано, что если пространство является трехмерным, то оно равно выпуклой оболочке множества его крайних точек. Это утверждение было расширено на случай любой конечной размерности. Теорема Крейна-Милмана обобщает это на произвольные локально выпуклые пространства; однако, для обобщения с конечных на бесконечномерные пространства необходимо использовать замыкание.
The Krein–Milman theorem generalizes this to arbitrary locally convex ; however, to generalize from finite to infinite dimensional spaces, it is necessary to use the closure.