Введение

В математике, в частности в алгебраической топологии, p-компактная группа — это гомотопическая версия компактной группы Ли, но со всей локальной структурой, сосредоточенной в одной простой степени p. Эта концепция была введена в [здесь нужно вставить ссылку], уточняя более ранние представления об конечном пространстве петель по модулю p. P-компактная группа обладает многими свойствами, схожими со свойствами групп Ли, такими как максимальные торы и группы Вейля, которые определяются исключительно гомотопически через классифицирующее пространство, но с важным отличием: группа Вейля, вместо того чтобы быть конечной группой отражений над целыми числами, теперь является конечной p-адической группой отражений. Существует классификация таких групп в терминах корневых данных, которая отражает классификацию компактных групп Ли, но с заменой целых чисел на p-адические целые числа.

Определение

П-компактная группа — это указанное пространство BG, локальное относительно mod p гомологии, такое что указанное петлевое пространство G = ΩBG имеет конечные mod p гомологии. Иногда п-компактную группу также называют просто G, но в этом случае следует помнить, что структура петлевого пространства является частью данных (которая позволяет восстановить BG). П-компактная группа называется связной, если G — связное пространство (в общем случае группа компонент связности G будет конечной p-группой). Ранг п-компактной группы — это ранг её максимального тора.

Примеры

П-завершение, в смысле теории гомотопий, (классифицирующего пространства) компактной связной группы Ли определяет связную p-компактную группу. (Группа Вейля – это просто обычная группа Вейля, теперь рассматриваемая как p-адическая группа отражений, посредством тензорного произведения решетки ковесов .) В более общем случае, p-завершение связного пространства конечных петель определяет p-компактную группу. (Здесь группа Вейля будет группой отражений, которая может не происходить из группы отражений.) Связная 2-компактная группа ранга 1 является либо 2-завершением SU(2), либо SO(3). Связная p-компактная группа ранга 1, для нечетного p, является «сферой Салливана», то есть p-завершением сферы S^(2n-1), где n делит p − 1. Эти сферы обладают единственной структурой пространства петель. Они были впервые построены Деннисом Салливаном в его конспектах 1970 года из MIT. (Группа Вейля – это циклическая группа порядка n, действующая посредством n-го корня из единицы.) Обобщая случай ранга 1, любая конечная комплексная группа отражений может быть реализована как группа Вейля p-компактной группы для бесконечного числа простых чисел, причем простые числа определяются тем, можно ли W и сопрягать в или нет, с некоторым вложением в . Построение p-компактной группы с этой группой Вейля затем относительно просто для больших простых чисел, где p не делит порядок W (уже выполнено с использованием теоремы Шевалле — Шепарда — Тодда), но требует более сложных методов для «модулярных простых чисел» p, делящих порядок W.

Классификация

Классификация p-компактных групп утверждает, что существует 1-1 соответствие между связными p-компактными группами, с точностью до гомотопической эквивалентности, и корневыми данными над p-адическими целыми числами, с точностью до изоморфизма. Это аналогично классической классификации связных компактных групп Ли, где p-адические целые числа заменяют рациональные целые числа. Из классификации следует, что любая p-компактная группа может быть записана как BG = BH × BK, где BH является p-завершением компактной связной группы Ли, а BK – конечным прямым произведением простых экзотических p-компактных групп, то есть простых p-компактных групп, чья группа Вейля не является группой отражений. Простые экзотические p-компактные группы снова находятся в 1-1 соответствии с неразложимыми комплексными отражающими группами, чье поле характеров может быть вложено в , но не является . Например, когда p=2, это подразумевает, что каждая связная 2-компактная группа может быть записана как BG = BH × BDI(4)ˢ, где BH является p-завершением классифицирующего пространства связной компактной группы Ли, а BDI(4)ˢ обозначает ˢ копий "2-компактной группы Дуайера-Вилкерсона" BDI(4) ранга 3, построенной в , с группой Вейля, соответствующей группе номер 24 в перечислении комплексных отражающих групп Шепарда-Тодда. Для p=3 аналогичное утверждение верно, но новая экзотическая 3-компактная группа теперь является группой номер 12 в списке Шепарда-Тодда, ранга 2. Для простых чисел, больших 3, семейство 2 в списке Шепарда-Тодда будет содержать бесконечно много экзотических p-компактных групп.

Некоторые последствия классификации

Конечное петлевое пространство — это острое пространство BG, такое, что пространство петли ΩBG гомотопически эквивалентно конечному CW-комплексу. Классификация связных p-компактных групп влечет за собой классификацию связных конечных петлевых пространств: для каждой простой p существует связная p-компактная группа, все с одним и тем же рациональным типом, и существует явное пространство двойных косетов возможных связных конечных петлевых пространств с p-завершением, соответствующим данным p-компактным группам. Поскольку связные p-компактные группы классифицируются комбинаторно, это влечет за собой классификацию связных петлевых пространств. Используя классификацию, можно идентифицировать компактные группы Ли внутри конечных петлевых пространств, что дает гомотопическую характеристику компактных связных групп Ли: они являются именно теми конечными петлевыми пространствами, которые допускают интегральный максимальный тор; это была так называемая гипотеза о максимальномторе. (См. и .) Классификация также влечет за собой классификацию градуированных полиномиальных колец, которые могут возникать как кольцо когомологий пространства, так называемую проблему Стинрода. (См. .)