Мэтью Дин Форман: вклад в теорию множеств и эргодическую теорию.

Введение

Американский математик Мэтью Дин Форман — американский математик, работающий в Калифорнийском университете в Ирвине. Он внес значительный вклад в теорию множеств и эргодическую теорию.

Работа

Форман начал свою карьеру в теории множеств. Его ранние работы с Хью Вудином включали в себя доказательство того, что непротиворечиво, если обобщённая гипотеза континуума (см. гипотеза континуума) не выполняется для каждого бесконечного кардинала. В совместной работе с Менахемом Магидором и Сахароном Шелахом он сформулировал максимальный Мартина — доказуемо максимальную форму аксиомы Мартина и показал её непротиворечивость. Позднейшая работа Формана в теории множеств была в основном посвящена развитию следствий общих аксиом больших кардиналов. Он также работал над классическими «венгерскими» отношениями разбиения, преимущественно с Андрашем Хайналом. В конце 1980-х годов Форман заинтересовался теорией меры и эргодической теорией. Вместе с Рэндаллом Доэрти он решил проблему Марчевского (1930 года), показав, что существует разложение Банаха — Тарского единичного шара, в котором все части обладают свойством Бaire (см. парадокс Банаха — Тарского). Следствием этого является существование разложения открытого плотного подмножества единичного шара на непересекающиеся открытые множества, которые можно переставить изометриями, чтобы получить два открытых плотных подмножества единичного шара. Вместе с Фридрихом Веррунгом Форман показал, что теорема Ганна — Банаха влечёт существование множества, не измеримого по Лебегу, даже при отсутствии какой-либо другой формы аксиомы выбора. Это естественным образом привело к попыткам применить инструменты описательной теории множеств к задачам классификации в эргодической теории. Его первая работа в этом направлении, совместно с Ференком Белезнаем, показала, что классические коллекции по сложности превосходят иерархию Бореля. Вскоре после этого было доказано аналогичное утверждение для преобразований, сохраняющих меру, с обобщённым дискретным спектром. В сотрудничестве с Бенджамином Вайсом и Даниэлем Рудольфом Форман показал, что ни один остаточный класс преобразований, сохраняющих меру, не может иметь алгебраических инвариантов, и что отношение изоморфизма на преобразованиях, сохраняющих эргодическую меру, не является борелевским. Этот отрицательный результат завершил программу, предложенную фон Нейманом в 1932 году. Форман и Вайс расширили этот результат, показав, что гладкие диффеоморфизмы, сохраняющие площадь на 2-торе, не поддаются классификации. Работа Формана в теории множеств продолжалась в этот период. Он был соавтором (вместе с Канамори) «Справочника по теории множеств» и показал, что различные комбинаторные свойства ω2 и ω3 эквивалентны по непротиворечивости с большими кардиналами.

Foreman began his career in set theory. His early work with Hugh Woodin included showing that it is consistent that the generalized continuum hypothesis (see continuum hypothesis) fails at every infinite cardinal. In joint work with Menachem Magidor and Saharon Shelah he formulated Martin's maximum, a provably maximal form of Martin's axiom and showed its consistency. Foreman's later work in set theory was primarily concerned with developing the consequences of generic large cardinal axioms. He also worked on classical "Hungarian" partition relations, mostly with András Hajnal. In the late 1980s Foreman became interested in measure theory and ergodic theory. With Randall Dougherty he settled the Marczewski problem (1930) by showing that there is a Banach–Tarski decomposition of the unit ball in which all pieces have the property of Baire (see Banach–Tarski paradox). A consequence is the existence of a decomposition of an open dense subset of the unit ball into disjoint open sets that can be rearranged by isometries to form two open dense subsets of the unit ball. With Friedrich Wehrung, Foreman showed that the Hahn–Banach theorem implied the existence of a non Lebesgue measurable set, even in the absence of any other form of the axiom of choice. This naturally led to attempts to apply the tools of descriptive set theory to classification problems in ergodic theory. His first work in this direction, with Ferenc Beleznay, showed that classical collections were beyond the Borel hierarchy in complexity. This was followed shortly by a proof of the analogous results for measure preserving transformations with generalized discrete spectrum. In a collaboration with Benjamin Weiss and Daniel Rudolph Foreman showed that no residual class of measure preserving transformations can have algebraic invariants and that the isomorphism relation on ergodic measure preserving transformations is not Borel. This negative result finished a program proposed by von Neumann in 1932. This result was extended by Foreman and Weiss to show that smooth area preserving diffeomorphisms of the 2 torus are unclassifiable. Foreman's work in set theory continued during this period. He co edited (with Kanamori) the Handbook of Set Theory and showed that various combinatorial properties of ω2 and ω3 are equiconsistent with huge cardinals.

Признание

В 1998 году Форман был приглашенным докладчиком Международного конгресса математиков в Берлине. В 2021 году он выступил с Гёделевской лекцией под названием «Гёделевские диффеоморфизмы». В 2023 году он был избран членом Американского математического общества «за вклад в аксиоматику математики, феномены Банаха — Тарского и описательную динамическую систему».