Введение
Треугольник, образованный серединами сторон другого треугольника. В евклидовой геометрии медиальный треугольник или треугольник, соединяющий середины сторон треугольника △ABC, – это треугольник с вершинами в серединах сторон AB, AC, BC. Он является частным случаем (n=3) многоугольника, образованного серединами сторон многоугольника с n сторонами. Медиальный треугольник не следует путать с треугольником, стороны которого равны медианам треугольника △ABC. Каждая сторона медиального треугольника называется средней линией (или средним отрезком). В общем случае, средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника. Она параллельна третьей стороне и её длина равна половине длины третьей стороны.
In Euclidean geometry, the medial triangle or midpoint triangle of a triangle △ABC is the triangle with vertices at the midpoints of the triangle's sides AB, AC, BC. It is the 1=n = 3 case of the midpoint polygon of a polygon with n sides. The medial triangle is not the same thing as the median triangle, which is the triangle whose sides have the same lengths as the medians of △ABC. Each side of the medial triangle is called a midsegment (or midline). In general, a midsegment of a triangle is a line segment which joins the midpoints of two sides of the triangle. It is parallel to the third side and has a length equal to half the length of the third side.
Свойства
Медиальный треугольник также можно рассматривать как образ треугольника △ABC, полученный в результате гомотетии с центром в центроиде и коэффициентом 1/2. Таким образом, стороны медиального треугольника вдвое меньше и параллельны соответствующим сторонам треугольника △ABC. Следовательно, медиальный треугольник подобен исходному с коэффициентом 1/2 и имеет тот же центроид и медианы, что и треугольник △ABC. Отсюда также следует, что периметр медиального треугольника равен полупериметру треугольника △ABC, а его площадь составляет четверть площади треугольника △ABC. Более того, четыре треугольника, на которые исходный треугольник делится медиальным треугольником, попарно конгруэнтны по трем сторонам (SSS), поэтому их площади равны, и, следовательно, площадь каждого из них составляет 1/4 площади исходного треугольника. Ортоцентр медиального треугольника совпадает с центром описанной окружности треугольника △ABC. Этот факт предоставляет инструмент для доказательства коллинеарности центра описанной окружности, центроида и ортоцентра. Медиальный треугольник является треугольником педали центра описанной окружности. Девятиточечная окружность описывает медиальный треугольник, поэтому девятиточечный центр является центром описанной окружности медиального треугольника. Точка Нагеля медиального треугольника является центром приписанной окружности его исходного треугольника. Медиальный треугольник исходного треугольника конгруэнтен треугольнику, вершины которого являются серединами отрезков между ортоцентром исходного треугольника и его вершинами. Точка, лежащая внутри треугольника, является центром вписанной эллипса этого треугольника тогда и только тогда, когда она лежит внутри медиального треугольника. Медиальный треугольник – единственный треугольник, для которого ни один из трех других внутренних треугольников не имеет меньшей площади. Исходный треугольник и его медиальный треугольник являются ортологическими треугольниками.