Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Кіріспе
Басқа үшбұрыштың қабырғаларының орта нүктелерінен құралған үшбұрыш.
Triangle defined from the midpoints of the sides of another triangle
Евклид геометриясында, медианалық үшбұрыш немесе үшбұрыштың орта нүктелі үшбұрышы – △ABC үшбұрышының AB, AC, BC қабырғаларының орта нүктелеріндегі төбелері бар үшбұрыш. Бұл n қабырғалы көпбұрыштың орта нүктелі көпбұрышының 1=n = 3 жағдайы. Медианалық үшбұрыш, △ABC үшбұрышының медианаларымен бірдей қабырғалары бар медиандық үшбұрыштан өзгеше. Медианалық үшбұрыштың әрбір қабырғасы ортаңғы кесінді (немесе орта сызық) деп аталады. Жалпы, үшбұрыштың ортаңғы кесіндісі – үшбұрыштың екі қабырғасының орта нүктелерін қосатын түзу кесіндісі. Ол үшінші қабырғаға параллель және үшінші қабырғаның ұзындығының жартысына тең ұзындыққа ие.
In Euclidean geometry, the medial triangle or midpoint triangle of a triangle △ABC is the triangle with vertices at the midpoints of the triangle's sides AB, AC, BC. It is the 1=n = 3 case of the midpoint polygon of a polygon with n sides. The medial triangle is not the same thing as the median triangle, which is the triangle whose sides have the same lengths as the medians of △ABC. Each side of the medial triangle is called a midsegment (or midline). In general, a midsegment of a triangle is a line segment which joins the midpoints of two sides of the triangle. It is parallel to the third side and has a length equal to half the length of the third side.
Қасиеттері
Медиалдық үшбұрышты △ABC үшбұрышының гомотетия арқылы алынған кескіні ретінде қарастыруға болады, гомотетияның центрі ауыр ортасымен сәйкес келеді және қатынасы 1/2-ге тең. Осылайша, медиалдық үшбұрыштың қабырғалары △ABC үшбұрышының сәйкес қабырғаларынан екі есе қысқа және оларға параллель. Сондықтан, медиалдық үшбұрыш кері ұқсас және △ABC үшбұрышымен ортақ ауыр ортасына және медианаларына ие. Бұдан сондай-ақ медиалдық үшбұрыштың периметрі △ABC үшбұрышының жарты периметріне тең, ал ауданы △ABC үшбұрышының ауданының төрттен біріне тең екендігі шығады. Сонымен қатар, бастапқы үшбұрышты медиалдық үшбұрышқа бөлетін төрт үшбұрыш SSS теңдігі бойынша өзара сәйкес келеді, сондықтан олардың аудандары тең және әрқайсысының ауданы бастапқы үшбұрыштың 1/4 бөлігін құрайды. Медиалдық үшбұрыштың ортоцентрі △ABC үшбұрышының сырттай ортасымен (шеңбер ортасымен) сәйкес келеді. Бұл факт сырттай орталықтың, ауыр ортасының және ортоцентрдің бір түзуде жатуын дәлелдеуге мүмкіндік береді. Медиалдық үшбұрыш – сырттай орталықтың педальдік үшбұрышы. Тоғыз нүктелі шеңбер медиалдық үшбұрышты сырттан қоршайды, сондықтан тоғыз нүктелі орталық медиалдық үшбұрыштың сырттай ортасы болып табылады. Медиалдық үшбұрыштың Нагель нүктесі оның анықтамалық үшбұрышының іштей ортасы болып табылады. Анықтамалық үшбұрыштың медиалдық үшбұрышы, анықтамалық үшбұрыштың ортоцентрі мен оның төбелері арасындағы орта нүктелері болатын үшбұрышқа сәйкес келеді. Үшбұрыштың ішкі бөлігіндегі нүкте, егер және тек қана егер бұл нүкте медиалдық үшбұрыштың ішкі бөлігінде жатса, үшбұрыштың ішкі эллипсінің ортасы болып табылады. Медиалдық үшбұрыш – басқа үш ішкі үшбұрыштардың ауданынан кішірек емес жалғыз жазылған үшбұрыш. Анықтамалық үшбұрыш және оның медиалдық үшбұрышы ортологиялық үшбұрыштар болып табылады.
The medial triangle can also be viewed as the image of triangle △ABC transformed by a homothety centered at the centroid with ratio 1/2. Thus, the sides of the medial triangle are half and parallel to the corresponding sides of triangle ABC. Hence, the medial triangle is inversely similar and shares the same centroid and medians with triangle △ABC. It also follows from this that the perimeter of the medial triangle equals the semiperimeter of triangle △ABC, and that the area is one quarter of the area of triangle △ABC. Furthermore, the four triangles that the original triangle is subdivided into by the medial triangle are all mutually congruent by SSS, so their areas are equal and thus the area of each is 1/4 the area of the original triangle. The orthocenter of the medial triangle coincides with the circumcenter of triangle △ABC. This fact provides a tool for proving collinearity of the circumcenter, centroid and orthocenter. The medial triangle is the pedal triangle of the circumcenter. The nine point circle circumscribes the medial triangle, and so the nine point center is the circumcenter of the medial triangle. The Nagel point of the medial triangle is the incenter of its reference triangle. A reference triangle's medial triangle is congruent to the triangle whose vertices are the midpoints between the reference triangle's orthocenter and its vertices. A point in the interior of a triangle is the center of an inellipse of the triangle if and only if the point lies in the interior of the medial triangle. The medial triangle is the only inscribed triangle for which none of the other three interior triangles has smaller area. The reference triangle and its medial triangle are orthologic triangles.