Введение

О всех абсолютных значениях рациональных чисел
В теории чисел теорема Островского, установленная Александром Островским (1916), утверждает, что каждое нетривиальное абсолютное значение на множестве рациональных чисел эквивалентно либо обычному вещественному абсолютному значению, либо p-адическому абсолютному значению.

Второй случай

Предположим, что для всех целых чисел n выполняется. Поскольку наше абсолютное значение нетривиально, должно существовать положительное целое число n, для которого разложение на простые множители показывает, что существует такое, что. Утверждаем, что это верно лишь для одного простого числа. Предположим противное: существуют два различных простых числа p и q с абсолютным значением строго меньше 1. Пусть k – положительное целое число, такое что и меньше, чем. По тождеству Безу, поскольку и взаимно просты, существуют два целых числа a и b, такие что. Это приводит к противоречию, поскольку.

Это означает, что существует единственное простое число p такое, что и для всех остальных простых чисел q выполняется (исходя из гипотезы этого второго случая). Пусть. Из следует, что (и действительно, в этом случае все положительные дают абсолютные значения, эквивалентные p-адическому). Наконец, проверяем, что и для всех остальных простых чисел q. Согласно вышеуказанному результату об определении абсолютного значения по его значениям на простых числах, заключаем, что для всех рациональных чисел r, что означает, что это абсолютное значение эквивалентно p-адическому.

Еще одна теорема Островского

Другая теорема утверждает, что любое поле, полное по отношению к архимедову абсолютному значению, изоморфно (алгебраически и топологически) либо полю вещественных, либо полю комплексных чисел. Это также иногда называют теоремой Островского.