Введение

В алгебраической геометрии, линейное расслоение на проективном многообразии называется неэффективным, если оно имеет неотрицательную степень на каждой кривой, лежащей на этом многообразии. Классы неэффективных линейных расслоений описываются выпуклым конусом, а возможные стяжения многообразия соответствуют определенным граням этого конуса. В силу соответствия между линейными расслоениями и дивизорами (построенными из подмногообразий коразмерности 1), существует эквивалентное понятие неэффективного дивизора.

Определение

Более общим образом, линейное расслоение L на правильной схеме X над полем k называется nef, если оно имеет неотрицательную степень на каждой (замкнутой неприводимой) кривой в X. (Степень линейного расслоения L на правильной кривой C над k является степенью делителя (s) любого ненулевого рационального сечения s расслоения L.) Линейное расслоение также можно назвать инвертируемым пучком. Термин "nef" был введен Майлзом Ридом в качестве замены более ранних терминов "арифметически эффективный" и "числовой эффективный", а также фразы "числовой в конечном итоге свободный". Более ранние термины были вводящими в заблуждение, в свете примеров, приведенных ниже. Каждое линейное расслоение L на правильной кривой C над k, имеющее глобальное сечение, не тождественно равное нулю, имеет неотрицательную степень. Следовательно, линейное расслоение без базовых точек на правильной схеме X над k имеет неотрицательную степень на каждой кривой в X; то есть, оно является nef. Более общим образом, линейное расслоение L называется полуамплитудным, если некоторая положительная тензорная степень свободно от базовых точек. Отсюда следует, что полуамплитудное линейное расслоение является nef. Полуамплитудные линейные расслоения можно рассматривать как основной геометрический источник nef-линейных расслоений, хотя эти два понятия не эквивалентны; см. примеры ниже. Делитель Картье D на правильной схеме X над полем называется nef, если соответствующее линейное расслоение O(D) является nef на X. Эквивалентно, D является nef, если число пересечений неотрицательно для каждой кривой C в X. Чтобы перейти от линейных расслоений к делителям, первый класс Черна является изоморфизмом из группы Пикара линейных расслоений на многообразии X в группу делителей Картье по модулю линейной эквивалентности. Явно, первый класс Черна – это делитель (s) любого ненулевого рационального сечения s расслоения L.

Конус нефа

Для работы с неравенствами удобно рассматривать R-делители, то есть конечные линейные комбинации делителей Картье с вещественными коэффициентами. R-делители по модулю численной эквивалентности образуют вещественное векторное пространство конечной размерности, группу Нерона–Севери, тензорное произведение с вещественными числами. (Точнее: два R-делителя считаются числово эквивалентными, если они имеют одинаковое число пересечений со всеми кривыми в X.) R-делитель называется нефа, если он имеет неотрицательную степень на каждой кривой. Нефа R-делители образуют замкнутый выпуклый конус в , конус нефа Nef(X). Конус кривых определяется как выпуклый конус линейных комбинаций кривых с неотрицательными вещественными коэффициентами в вещественном векторном пространстве 1-циклов по модулю численной эквивалентности. Векторные пространства и двойственны друг другу относительно операции пересечения, а конус нефа (по определению) является двойственным конусом к конусу кривых. Важная задача в алгебраической геометрии — анализ того, какие пучки прямых являются ample, поскольку это эквивалентно описанию различных способов вложения многообразия в проективное пространство. Один из ответов — критерий Клеймана (1966): для проективной схемы X над полем, пучок прямых (или R-делитель) является ample тогда и только тогда, когда его класс в лежит во внутренней области конуса нефа. (R-делитель называется ample, если его можно представить как положительную линейную комбинацию ample делителей Картье.) Из критерия Клеймана следует, что для проективного X каждый нефа R-делитель на X является пределом ample R-делителей в . Действительно, для D нефа и A ample, D + cA является ample для всех вещественных чисел c > 0.

Метрическое определение пучков линий неф

Пусть X — компактное комплексное многообразие с фиксированной эрмитовой метрикой, рассматриваемое как положительная (1,1)-форма. В соответствии с работами Жан-Пьера Демайли, Томаса Петернеля и Майкла Шнайдера, голоморфный линейный расслоение L на X называется нефом, если для любого ε существует гладкая эрмитова метрика h на L, кривизна которой удовлетворяет условию curv_h ≥ -εω. Когда X является проективным над C, это эквивалентно предыдущему определению (что L имеет неотрицательную степень на всех кривых в X). Даже для X проективного над C, нефово линейное расслоение L не обязательно должно иметь эрмитову метрику h с кривизной curv_h = 0, что объясняет более сложное определение, представленное выше.

Примеры

Если X — гладкая проективная поверхность, а C — (неприводимая) кривая в X с числом самопересечения, то C — неэф на X, поскольку любые две различные кривые на поверхности имеют неотрицательное число пересечения. Если, то C эффективна, но не неэф на X. Например, если X — раздутие гладкой проективной поверхности Y в точке, то исключительная кривая E раздутия имеет. Каждый эффективный делитель на флаговом многообразии или абелевом многообразии является неэф, поскольку эти многообразия допускают транзитивное действие связной алгебраической группы. Каждый линейный пучок L степени 0 на гладкой комплексной проективной кривой X является неэф, но L полуобширен тогда и только тогда, когда L является элементом кручения в группе Пикара X. Для X рода g, по крайней мере равного 1, большинство линейных пучков степени 0 не являются элементами кручения, поскольку якобиан X является абелевым многообразием размерности g. Каждый полуобширный линейный пучок является неэф, но не каждый неэф линейный пучок даже численно эквивалентен полуобширному линейному пучку. Например, Дэвид Мамфорд построил линейный пучок L на подходящей управляемой поверхности X таким образом, что L имеет положительную степень на всех кривых, но число пересечений равно нулю. Отсюда следует, что L — неэф, но никакое положительное кратное не численно эквивалентно эффективному делителю. В частности, пространство глобальных сечений равно нулю для всех положительных целых чисел a.

Схватки и конус мочевого мозга

Сжатие нормального проективного многообразия X над полем k — это сюръективный морфизм f: X → Y, где Y — нормальное проективное многообразие над k, такой что (последнее условие влечет за собой, что волокна f связны, и эквивалентно тому, что f имеет связные волокна, если k имеет характеристику ноль). Сжатие называется фибрацией, если dim(Y) < dim(X). Сжатие с dim(Y) = dim(X) автоматически является бирациональным морфизмом. (Например, X может быть проецированием гладкой проективной поверхности Y в точке.) Грань F выпуклого конуса N — это выпуклый подконус, такой что любые две точки из N, сумма которых лежит в F, сами должны лежать в F. Сжатие X определяет грань F конуса nef многообразия X, а именно пересечение Nef(X) с обратным образом. Напротив, задав многообразие X, грань F конуса nef определяет сжатие с точностью до изоморфизма. Действительно, существует полуамплитное линейное расслоение L на X, класс которого в лежит внутри F (например, можно взять L равным обратному образу к X любого амплитного линейного расслоения на Y). Любое такое расслоение определяет Y посредством конструкции Proj: Чтобы описать Y в геометрических терминах: кривая C в X отображается в точку в Y тогда и только тогда, когда L имеет нулевую степень на C. В результате существует взаимно однозначное соответствие между сжатиями X и некоторыми гранями конуса nef многообразия X. (Это соответствие также можно сформулировать дуально, в терминах граней конуса кривых.) Знание того, какие nef-линейные расслоения являются полуамплитными, определит, какие грани соответствуют сжатиям. Теорема о конусе описывает значительный класс граней, которые действительно соответствуют сжатиям, а гипотеза об изобилии даст больше. Пример: Пусть X — проецирование комплексной проективной плоскости в точке p. Пусть H — обратный образ к X прямой на , а E — исключительная кривая проецирования. Тогда X имеет пикардовское число 2, что означает, что вещественное векторное пространство имеет размерность 2. В силу геометрии выпуклых конусов размерности 2 конус nef должен быть порожден двумя лучами; явно, это лучи, порожденные H и H − E. В этом примере оба луча соответствуют сжатиям X: H дает бирациональный морфизм , а H − E дает фибрацию с волокнами, изоморфными (соответствующими прямым в проходящим через точку p). Поскольку конус nef многообразия X не имеет других нетривиальных граней, это единственные нетривиальные сжатия X; это было бы сложнее увидеть без связи с выпуклыми конусами.