Введение
В плоской геометрии теорема Холдича утверждает, что если аккорд фиксированной длины вращается внутри выпуклой замкнутой кривой, то геометрическое место точки на аккорде, находящейся на расстоянии p от одного конца и на расстоянии q от другого, является замкнутой кривой, площадь, ограниченная которой, меньше площади исходной кривой. Теорема была опубликована в 1858 году преподобным Хамнетом Холдичем. Хотя Холдич об этом не упоминал, доказательство теоремы требует предположения, что аккорд достаточно короткий, чтобы образованное геометрическое место было простой замкнутой кривой.
In plane geometry, Holditch's theorem states that if a chord of fixed length is allowed to rotate inside a convex closed curve, then the locus of a point on the chord a distance p from one end and a distance q from the other is a closed curve whose enclosed area is less than that of the original curve by The theorem was published in 1858 by Rev. Hamnet Holditch. While not mentioned by Holditch, the proof of the theorem requires an assumption that the chord be short enough that the traced locus is a simple closed curve.
Замечания
Теорема включена Клиффордом Пиковером в список 250 важнейших достижений в истории математики. К особенностям теоремы относится то, что формула для вычисления площади не зависит ни от формы, ни от размера исходной кривой, а также то, что эта формула совпадает с формулой площади эллипса с полуосями p и q. Автор теоремы был президентом колледжа Кайус в Кембридже.
Расширения
Броман дает более точную формулировку теоремы, а также ее обобщение. Обобщение позволяет, например, рассмотреть случай, когда внешняя кривая является треугольником, так что условия точной формулировки теоремы Холдича не выполняются, поскольку траектории концов хорды содержат ретроградные участки (участки, повторяющие пройденный путь), когда пересекается острый угол. Тем не менее, обобщение показывает, что если хорда короче любой высоты треугольника и достаточно мала, чтобы образованная траектория была простой кривой, то формула Холдича для площади между кривыми все еще верна (и остается верной, если треугольник заменить любым выпуклым многоугольником с достаточно короткой хордой). Однако в других случаях применяются иные формулы.