Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Система с бесконечномерным пространством состояний
System with an infinite dimensional state space
В теории управления распределённая параметрическая система (в отличие от сосредоточенной параметрической системы) — это система, пространство состояний которой бесконечномерно. Такие системы также известны как системы с бесконечным числом степеней свободы. Типичными примерами являются системы, описываемые уравнениями в частных производных или уравнениями с запаздыванием.
In control theory, a distributed parameter system (as opposed to a lumped parameter system) is a system whose state space is infinite dimensional. Such systems are therefore also known as infinite dimensional systems. Typical examples are systems described by partial differential equations or by delay differential equations.
Функции передачи
Как и в случае с конечномерными системами, функция передачи определяется с помощью преобразования Лапласа (для непрерывного времени) или Z-преобразования (для дискретного времени). В то время как в конечномерном случае функция передачи является правильной рациональной функцией, бесконечная размерность пространства состояний приводит к иррациональным функциям (которые, тем не менее, остаются голоморфными).
As in the finite dimensional case the transfer function is defined through the Laplace transform (continuous time) or Z transform (discrete time). Whereas in the finite dimensional case the transfer function is a proper rational function, the infinite dimensionality of the state space leads to irrational functions (which are however still holomorphic).
Дискретное время
В дискретном времени функция передачи задается через параметры пространства состояний и является голоморфной в диске с центром в начале координат. Если 1/z принадлежит разрешающему множеству матрицы A (что выполняется на возможно меньшем диске с центром в начале координат), то функция передачи равна. Интересный факт состоит в том, что любая функция, голоморфная в нуле, является функцией передачи некоторой дискретной системы.
In discrete time the transfer function is given in terms of the state space parameters by and it is holomorphic in a disc centered at the origin. In case 1/z belongs to the resolvent set of A (which is the case on a possibly smaller disc centered at the origin) the transfer function equals An interesting fact is that any function that is holomorphic in zero is the transfer function of some discrete time system.
Непрерывное время
Если A генерирует сильно непрерывную полугруппу, а B, C и D – ограниченные операторы, то передаточная функция выражается через параметры пространства состояний для s с действительной частью, большей, чем экспоненциальная граница роста полугруппы, порожденной A. В более общих случаях эта формула в ее текущем виде может даже не иметь смысла, однако соответствующее обобщение этой формулы все же справедливо. Для получения простого выражения для передаточной функции часто предпочтительнее применить преобразование Лапласа к заданному дифференциальному уравнению, чем использовать формулы пространства состояний, как это продемонстрировано ниже на приведенных выше примерах.
If A generates a strongly continuous semigroup and B, C and D are bounded operators, then the transfer function is given in terms of the state space parameters by for s with real part larger than the exponential growth bound of the semigroup generated by A. In more general situations this formula as it stands may not even make sense, but an appropriate generalization of this formula still holds. To obtain an easy expression for the transfer function it is often better to take the Laplace transform in the given differential equation than to use the state space formulas as illustrated below on the examples given above.
Пример функции переноса для дифференциального уравнения задержки
Продолжая аналогично примеру с частным дифференциальным уравнением, передаточная функция для примера уравнения задержки равна .
Proceeding similarly as for the partial differential equation example, the transfer function for the delay equation example is .