Введение

Тип поля, возникающий в лагранжиане
В теоретической физике, источниковое поле — это фоновое поле, сопряженное с исходным полем как Этот член появляется в действии в интегральном формулировании пути Ричарда Фейнмана и отвечает за взаимодействия в теории. В формулировке Джулиана Швингера источник отвечает за создание или уничтожение (обнаружение) частиц. В реакции столкновения источником могут быть другие частицы в столкновении. Следовательно, источник появляется в амплитуде вакуума, действуя с обеих сторон на корреляторе функции Грина теории. Теория источника Швингера происходит из квантового принципа действия Швингера и может быть связана с интегральным формулированием пути, поскольку вариация по источнику как таковому соответствует полю, т.е.

Также, источник эффективно действует в области пространства-времени. Как видно из примеров ниже, поле источника появляется в правой части уравнений движения (обычно уравнений частичных дифференциалов второго порядка) для Когда поле является электромагнитным потенциалом или метрическим тензором, поле источника — это электрический ток или тензор энергии-импульса, соответственно. С точки зрения статистических и нерелятивистских приложений, формулировка источника Швингера играет решающую роль в понимании многих неравновесных систем. Теория источника теоретически значима, поскольку не требует ни регуляризации расходимостей, ни перенормировки. генерирует функции Грина (корреляторы).

Применяя квантово-вариационный метод, можно увидеть, что является внешним вынуждающим источником для С точки зрения теории вероятностей, можно рассматривать как математическое ожидание функции. Это мотивирует рассмотрение гамильтониана вынужденного гармонического осциллятора в качестве модельной системы, где фактически ток является вещественным, то есть, а лагранжиан равен. Отныне мы опускаем символ «крышка» и звездочку. В свете связи между функцией разделения и ее корреляторами, изменение амплитуды вакуума дает , где, поскольку интеграл находится в области времени, можно преобразовать его вместе с операторами рождения/аннигиляции, так что амплитуда в конечном итоге становится. Если добавить к члену массы, то преобразовать Фурье и , и в импульсное пространство, амплитуда вакуума становится , где легко заметить, что член в амплитуде выше можно преобразовать Фурье в, т.е. таким образом, генерирующий функционал получается из функции разделения следующим образом. Все функции Грина могут быть формально найдены посредством разложения в ряд Тейлора суммы разделов, рассматриваемой как функция исходных полей. Этот метод обычно используется в интегральном формулировании пути квантовой теории поля. Общий метод, с помощью которого такие источниковые поля используются для получения пропагаторов как в квантовой, так и в статистической механике и других системах, описан ниже. При переопределении функции разделения в терминах амплитуды с поворотом Вика, функция разделения становится. Можно ввести , которое ведет себя как свободная энергия Гельмгольца в теориях теплового поля, чтобы поглотить комплексное число, и, следовательно, функция также называется приведенным квантовым действием. И с помощью преобразования Лежандра мы можем изобрести «новую» эффективную энергетическую функциональную или эффективное действие, как , с преобразованиями.

Интегрирование в определении эффективного действия можно заменить суммированием по, т.е. Последнее уравнение напоминает термодинамическое соотношение между свободной энергией Гельмгольца и энтропией. Теперь ясно, что термические и статистические теории поля в основном вытекают из функционального интегрирования и функциональных производных. Возвращаясь к преобразованиям Лежандра, это называется средним полем, очевидно, потому что, а является классическим фоновым полем. Идентичности Уорда, нелинейные сигма-модели и низкоэнергетические эффективные теории. Вернемся к функциям Грина действий. Поскольку преобразование Лежандра является преобразованием , и определяет N-точечный связанный коррелятор, то соответствующий коррелятор, полученный из , известный как вершинная функция, задается следующим образом: в одночастично не приводимых графах (обычно обозначаемых как 1PI), связанный 2-точечный коррелятор определяется как обратный 2-точечному коррелятору, т.е. обычная приведенная корреляция , а эффективная корреляция. Для, наиболее общие соотношения между N-точечными связанными и являются

и

Массивные полностью симметричные произвольные цельные спиновые поля

Можно обобщить исходный источник до источника с более высоким спином, так что становится . Тогда обобщенный вектор поляризации равен , а оператор проекции можно определить как . Симметричные свойства оператора проекции облегчают работу с амплитудой вакуума в импульсном пространстве. Поэтому, вместо того чтобы выражать её через коррелятор в координатном пространстве, мы записываем .

Смешанные симметричные произвольные спиновые поля

Кроме того, теоретически непротиворечиво обобщить исходную теорию для описания гипотетических калибровочных полей с антисимметричными и смешанно-симметричными свойствами в произвольных размерностях и с произвольными спинами. Однако следует учитывать нефизические степени свободы в теории. Например, в N измерениях для смешанно-симметричной безмассовой версии поля Кёртрайта и источника амплитуда вакуума такова, что для теории в N=4 источник в конечном итоге показывает, что это теория нефизического поля. Тем не менее, массивная версия сохраняется при N≥5.

произвольные полуцелые спиновые поля

Для спинорного фермионного пропагатора и тока, определенных выше, амплитуда вакуума задается условиями Фанга — Фронсдаля, наложенными на сами поля. Лагранжевы формулировки массивных полей и соответствующие условия были изучены Ламбодаром Сингхом и Карлом Хагеном. Нерелятивистская версия операторов проецирования, разработанная Чарльзом Земахом, другим учеником Швингера, широко применяется в адронной спектроскопии. Метод Земаха можно релятивистски усовершенствовать для получения ковариантных операторов проецирования.