Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Аксиоматическая квантовая теория поля — это математическая дисциплина, целью которой является описание квантовой теории поля в терминах строгих аксиом. Она тесно связана с функциональным анализом и операторными алгебрами, но в последние годы также изучалась с более геометрической и функториальной точки зрения. В этой дисциплине существуют две основные задачи. Во-первых, необходимо сформулировать набор аксиом, описывающих общие свойства любого математического объекта, который можно назвать «квантовой теорией поля». Затем необходимо представить строгие математические построения примеров, удовлетворяющих этим аксиомам.
Axiomatic quantum field theory is a mathematical discipline which aims to describe quantum field theory in terms of rigorous axioms. It is strongly associated with functional analysis and operator algebras, but has also been studied in recent years from a more geometric and functorial perspective. There are two main challenges in this discipline. First, one must propose a set of axioms which describe the general properties of any mathematical object that deserves to be called a "quantum field theory". Then, one gives rigorous mathematical constructions of examples satisfying these axioms.
Аксиомы Уайтмана
Первый набор аксиом для квантовых теорий поля, известных как аксиомы Уайтмана, был предложен Артуром Уайтманом в начале 1950-х годов. Эти аксиомы стремятся описать квантовые теории поля на плоском пространстве Минковского, рассматривая квантовые поля как операторнозначные распределения, действующие в гильбертовом пространстве. На практике часто применяют теорему реконструкции Уайтмана, которая гарантирует возможность восстановления операторнозначных распределений и гильбертова пространства из набора корреляционных функций.
The first set of axioms for quantum field theories, known as the Wightman axioms, were proposed by Arthur Wightman in the early 1950s. These axioms attempt to describe QFTs on flat Minkowski spacetime by regarding quantum fields as operator valued distributions acting on a Hilbert space. In practice, one often uses the Wightman reconstruction theorem, which guarantees that the operator valued distributions and the Hilbert space can be recovered from the collection of correlation functions.
Аксиомы Остервальдера и Шредера
Корреляционные функции КТП, удовлетворяющие аксиомам Уайтмана, часто могут быть аналитически продолжены от метрики Лоренца к евклидовой метрике. (Грубо говоря, временную переменную заменяют на мнимое время, а факторы изменения знака времени меняют знак временных компонент метрического тензора.) Полученные функции называются функциями Швингера. Для функций Швингера существует набор условий — аналитичность, перестановочная симметрия, евклидова ковариантность и отражательная позитивность — которым должен удовлетворять набор функций, определенных на различных степенях евклидова пространства-времени, чтобы являться аналитическим продолжением набора корреляционных функций КТП, удовлетворяющих аксиомам Уайтмана.
The correlation functions of a QFT satisfying the Wightman axioms often can be analytically continued from Lorentz signature to Euclidean signature. (Crudely, one replaces the time variable with imaginary time the factors of change the sign of the time time components of the metric tensor.) The resulting functions are called Schwinger functions. For the Schwinger functions there is a list of conditions — analyticity, permutation symmetry, Euclidean covariance, and reflection positivity — which a set of functions defined on various powers of Euclidean space time must satisfy in order to be the analytic continuation of the set of correlation functions of a QFT satisfying the Wightman axioms.
Аксиомы Хааг-Кастлера
Аксиомы Гаага-Кастлера аксиоматизируют квантовую теорию поля в терминах сетей алгебр.
The Haag–Kastler axioms axiomatize QFT in terms of nets of algebras.
Эвклидово утверждение о CFT
Эти аксиомы (см., например) используются в конформном бутстреп-подходе к конформной теории поля. Они также известны как аксиомы евклидова бутстрепа.
These axioms (see e. g.) are used in the conformal bootstrap approach to conformal field theory in They are also referred to as Euclidean bootstrap axioms.