Группы, в которых каждый элемент имеет конечный порядок

Введение

Группа, в которой каждый элемент имеет конечный порядок.

В теории групп, разделе математики, торсионная группа или периодическая группа — это группа, в которой каждый элемент имеет конечный порядок. Показатель такой группы, если он существует, равен наименьшему общему кратному порядков её элементов. Например, из теоремы Лагранжа следует, что каждая конечная группа является периодической и её показатель делит её порядок.

Бесконечные примеры

Примеры бесконечных периодических групп включают аддитивную группу кольца многочленов над конечным полем, факторгруппу рациональных чисел по целым числам, а также их прямые слагаемые – группы Пруфера. Другой пример – прямая сумма всех диэдрических групп. Ни один из этих примеров не имеет конечного образующего множества. Явные примеры бесконечных периодических групп, конечно порожденных, были построены Голодом на основе совместной работы с Шафаревичем (см. теорему Голода — Шафаревича), а также Алешиным и Григорчуком с использованием автоматов. Эти группы имеют бесконечный показатель; примеры с конечным показателем даны, например, монстрами Тарского, построенными Олшанским.

Проблема Бёрнсайд

Проблема Бернсайда — классический вопрос, касающийся связи между периодическими и конечными группами, при рассмотрении только конечно порожденных групп: вынуждает ли указание экспоненты конечность? Существование бесконечных, конечно порожденных периодических групп, как описано в предыдущем абзаце, показывает, что ответ на этот вопрос отрицателен для произвольной экспоненты. Хотя известно гораздо больше о том, какие экспоненты могут возникать у бесконечных конечно порожденных групп, для некоторых из них проблема остается нерешенной. Для определенных классов групп, например линейных групп, ответ на проблему Бернсайда, ограниченный этим классом, является положительным.

Математическая логика

Интересное свойство периодических групп заключается в том, что их определение нельзя формализовать средствами логики первого порядка. Это происходит потому, что для этого потребовалась бы аксиома вида, содержащая бесконечную дизъюнкцию и, следовательно, являющаяся недопустимой: логика первого порядка оперирует кванторами только над одним типом и не способна описать свойства или подмножества этого типа. Также невозможно обойти эту бесконечную дизъюнкцию, используя бесконечное множество аксиом: теорема о компактности подразумевает, что никакое множество формул логики первого порядка не может характеризовать периодические группы.

Связанные понятия

Торсионная подгруппа абелевой группы A — это подгруппа A, состоящая из всех элементов конечного порядка. Торсионная абелева группа — это абелева группа, в которой каждый элемент имеет конечный порядок. Бесторсионная абелева группа — это абелева группа, в которой единственным элементом конечного порядка является нейтральный элемент.