Введение

Обозначение вершинной фигуры многогранника
Вершинная фигура икосидодекаэдра представлена как 3.5.3.5 или

В геометрии конфигурация вершины – это краткая запись для представления вершинной фигуры многогранника или мозаики в виде последовательности граней, окружающих вершину. Для однородных многогранников существует только один тип вершины, и, следовательно, конфигурация вершины полностью определяет многогранник. (Хиральные многогранники существуют в виде зеркальных пар с одинаковой конфигурацией вершины.) Конфигурация вершины задается как последовательность чисел, представляющих количество сторон граней, примыкающих к вершине. Обозначение "a. b. c" описывает вершину, у которой сходятся 3 грани со сторонами a, b и c. Например, "3.5.3.5" указывает на вершину, к которой примыкают 4 грани, чередующиеся треугольники и пятиугольники. Эта конфигурация вершины определяет вершинно-транзитивный икосидодекаэдр. Обозначение является цикличным и, следовательно, эквивалентно при разных начальных точках, поэтому 3.5.3.5 то же самое, что и 5.3.5.3. Порядок важен, поэтому 3.3.5.5 отличается от 3.5.3.5 (в первом случае два треугольника следуют за двумя пятиугольниками). Повторяющиеся элементы можно объединить в степени, поэтому этот пример также можно представить как. Ему давались различные названия: описание вершины, тип вершины, символ вершины, расположение вершин, схема вершины, вектор граней. Он также известен как символ Канди и Ролетта за его использование для архимедовых многогранников в их книге 1952 года «Математические модели».

Верхние фигуры

Конфигурация вершины также может быть представлена в виде многоугольной фигуры вершины, отображающей грани, примыкающие к вершине. Эта фигура вершины имеет трехмерную структуру, так как грани не лежат в одной плоскости у многогранников, но для вершинно-однородных многогранников все соседние вершины находятся в одной плоскости, и поэтому эта плоская проекция может быть использована для визуализации конфигурации вершины.

Звездочки

Эта нотация также применима к невыпуклым правильным граням, звездным многоугольникам. Например, пентаграмма имеет символ {5/2}, что означает, что у неё 5 сторон, обходящих центр дважды. Существует, например, 4 правильных звездных многогранника с правильными многоугольниками или звездными многоугольниками в качестве вершинных фигур. Малый звёздчатый додекаэдр имеет символ Шлефли {5/2,5}, который раскрывается в явную конфигурацию вершин 5/2.5/2.5/2.5/2.5/2 или объединяется как (5/2)5. Большой звёздчатый додекаэдр, {5/2,3}, имеет треугольную вершинную фигуру и конфигурацию (5/2.5/2.5/2) или (5/2)3. Большой додекаэдр, {5,5/2}, имеет пентаграммную вершинную фигуру, с конфигурацией вершин (5.5.5.5.5)/2 или (55)/2. Большой икосаэдр, {3,5/2}, также имеет пентаграммную вершинную фигуру, с конфигурацией вершин (3.3.3.3.3)/2 или (35)/2. {5/2,5} = (5/2)5 {5/2,3} = (5/2)3 3 4.5/2 3 4.5/3 (3 4.5/2)/2 {5,5/2} = (55)/2 {3,5/2} = (35)/2 V.3 4.5/2 V 3 4.5/3 V (3 4.5/2)/2.

Обратные многоугольники

Лица на фигуре вершины считаются расположенными в одном направлении. Некоторые однородные многогранники имеют фигуры вершин с инверсиями, где грани располагаются в обратном направлении. Фигура вершины представляет это в нотации звездного многоугольника в виде p/q, где p < 2q, при этом p – число сторон, а q – число оборотов вокруг окружности. Например, "3/2" означает треугольник, вершины которого обходят круг дважды, что эквивалентно одному обороту назад. Аналогично, "5/3" – это пентаграмма, обратная 5/2.

Конфигурация линий

Однородные двойные или каталонские многогранники, включая бипирамиды и трапецоэдры, вертикально регулярны (обладают транзитивностью граней), и поэтому их можно идентифицировать с помощью аналогичной нотации, которую иногда называют конфигурацией граней. Например, V3.4.3.4 или V(3.4)2 представляет собой ромбический додекаэдр, который обладает транзитивностью граней: каждая грань является ромбом, и в чередующихся вершинах ромба сходятся по 3 или 4 граней.