Введение
В математике иерархия – это теоретико-множественный объект, состоящий из предзаказа, определенного на множестве. Это часто называют упорядоченным множеством, хотя это неоднозначный термин, который многие авторы резервируют для частично упорядоченных множеств или тотально упорядоченных множеств. Термин «предзаказанное множество» недвусмысленен и всегда является синонимом математической иерархии. Термин «иерархия» используется для подчеркивания иерархических отношений между элементами. Иногда множество обладает естественной иерархической структурой. Например, множество натуральных чисел N обладает естественной структурой предзаказа, где мы можем найти другое число , такое что , то есть больше, чем , только потому, что мы можем перейти от к , используя . Эта идея может быть применена к любому коммутативному моноиду. С другой стороны, множество целых чисел Z требует более сложного обоснования для своей иерархической структуры, поскольку мы всегда можем решить уравнение , записав . Математическую иерархию (предзаказанное множество) не следует путать с более общим понятием иерархии в социальной сфере, особенно при построении вычислительных моделей, используемых для описания реальных социальных, экономических или политических систем. Эти иерархии, или сложные сети, слишком сложны, чтобы быть описанными в категории множеств. Это не просто педантическое замечание; существуют также математические иерархии в общем смысле, которые не могут быть описаны с помощью теории множеств. Другие естественные иерархии возникают в информатике, где это слово относится к частично упорядоченным множествам, элементы которых являются классами объектов возрастающей сложности. В этом случае предзаказ, определяющий иерархию, является отношением включения классов. Иерархии включения, таким образом, являются частными случаями иерархий.
A mathematical hierarchy (a pre ordered set) should not be confused with the more general concept of a hierarchy in the social realm, particularly when one is constructing computational models that are used to describe real world social, economic or political systems. These hierarchies, or complex networks, are much too rich to be described in the category Set of sets. This is not just a pedantic claim; there are also mathematical hierarchies, in the general sense, that are not describable using set theory. Other natural hierarchies arise in computer science, where the word refers to partially ordered sets whose elements are classes of objects of increasing complexity. In that case, the preorder defining the hierarchy is the class containment relation. Containment hierarchies are thus special cases of hierarchies.
Связанная терминология
Отдельные элементы иерархии часто называют уровнями, и иерархия считается бесконечной, если она имеет бесконечное количество различных уровней, но считается схлопывающейся, если она имеет лишь конечное число различных уровней.
Пример
В теоретической информатике иерархия времени — это классификация задач о разрешимости в зависимости от времени, необходимого для их решения.