Теоретико-множественная топология и кардинальные функции

Введение

В математике, топология множеств — это область, объединяющая теорию множеств и общую топологию. Она сосредоточена на топологических вопросах, не зависящих от аксиоматической теории множеств Цермело — Френкеля (ZFC).

Пространства Доукера

В математической области общей топологии пространство Даукера — это топологическое пространство, являющееся T4, но не счетно паракомпактным. Даукер предположил, что пространств Даукера не существует, и это предположение оставалось нерешённым до тех пор, пока М. Э. Рудин не построил пример такого пространства в 1971 году. Контрпример Рудина представляет собой очень большое пространство (мощности) и обычно ведёт себя непредсказуемо. Золтан Балог дал первое построение в ZFC небольшого (мощности континуума) примера, который был более благоустроенным, чем пример Рудина. Используя теорию PCF, М. Кожман и С. Шелах построили подпространство пространства Даукера Рудина мощности, которое также является пространством Даукера.

Нормальные пространства Мура

Известной проблемой является вопрос о нормальных пространствах Мура — вопрос общей топологии, который долгое время был предметом интенсивных исследований. В конечном итоге было доказано, что ответ на этот вопрос независим от ZFC.

Кардинальные функции

Кардинальные функции широко используются в топологии как инструмент для описания различных топологических свойств. Вот некоторые примеры. (Примечание: некоторые авторы, утверждая, что "в общей топологии нет конечных кардинальных чисел", предпочитают определять кардинальные функции, перечисленные ниже, так, чтобы они никогда не принимали конечные кардинальные числа в качестве значений; это требует изменения некоторых из приведенных ниже определений, например, путем добавления "" справа от определений и т. д.) Возможно, самыми простыми кардинальными инвариантами топологического пространства X являются его кардинальность и кардинальность его топологии, обозначаемые соответственно как |X| и o(X). Вес w(X) топологического пространства X — наименьшая возможная кардинальность базы для X. Когда w(X) ≤ ℵ₀, пространство X называется вторично счётно. Вес пространства X — это наименьшая кардинальность базы для X. (База — это набор непустых открытых множеств, супермножества которых покрывают все открытые множества.) Характер топологического пространства X в точке x — наименьшая кардинальность локальной базы для x. Характер пространства X — это когда пространство X считается первым счётным. Плотность d(X) пространства X — наименьшая кардинальность плотного подмножества X. Когда d(X) ≤ ℵ₀, пространство X называется сепарабельным. Число Линделёфа L(X) пространства X — наименьшая бесконечная кардинальность, такая что каждое открытое покрытие имеет подпокрытие кардинальности не более L(X). Когда L(X) ≤ ℵ₀, пространство X называется пространством Линделёфа. Клетчатость пространства X — это семейство взаимно непересекающихся непустых открытых подмножеств. Наследственная клеточность (иногда называемая спредом) — это точная верхняя грань клеточностей его подмножеств: или с подпространством топология дискретна. Тесность t(x, X) топологического пространства X в точке x — наименьшее кардинальное число κ, такое что, для любого множества Y ⊆ X с |Y| ≥ κ, существует подмножество Z ⊆ Y, с |Z| ≤ κ, такое что Z является локальной базой в x. Символически, . Тесность пространства X — это t(X) = inf{t(x, X) : x ∈ X}. Когда t(X) = ℵ₀, пространство X называется счётным образом или счётной теснотой. Увеличенная тесность пространства X, — наименьшее регулярное кардинальное число κ, такое что для любого λ ≥ κ, существует подмножество Z ⊆ Y с кардинальностью |Z| < λ, такое что Z является локальной базой в x.

Cardinal functions are widely used in topology as a tool for describing various topological properties. Below are some examples. (Note: some authors, arguing that "there are no finite cardinal numbers in general topology", prefer to define the cardinal functions listed below so that they never take on finite cardinal numbers as values; this requires modifying some of the definitions given below, e. g. by adding "" to the right hand side of the definitions, etc.) Perhaps the simplest cardinal invariants of a topological space X are its cardinality and the cardinality of its topology, denoted respectively by |X| and o(X). The weight w(X ) of a topological space X is the smallest possible cardinality of a base for X. When w(X ) the space X is said to be second countable. The weight of a space X is the smallest cardinality of a base for X. (A base is a set of nonempty opens whose supersets includes all opens.) The character of a topological space X at a point x is the smallest cardinality of a local base for x. The character of space X is When the space X is said to be first countable. The density d(X ) of a space X is the smallest cardinality of a dense subset of X. When the space X is said to be separable. The Lindelöf number L(X ) of a space X is the smallest infinite cardinality such that every open cover has a subcover of cardinality no more than L(X ). When the space X is said to be a Lindelöf space. The cellularity of a space X is is a family of mutually disjoint non empty open subsets of The Hereditary cellularity (sometimes spread) is the least upper bound of cellularities of its subsets: or with the subspace topology is discrete The tightness t(x, X) of a topological space X at a point is the smallest cardinal number such that, whenever for some subset Y of X, there exists a subset Z of Y, with |Z | ≤ , such that Symbolically, The tightness of a space X is When t(X) = the space X is said to be countably generated or countably tight. The augmented tightness of a space X, is the smallest regular cardinal such that for any , there is a subset Z of Y with cardinality less than , such that .

Принуждение

Форсирование — это метод, изобретённый Полом Коэном для доказательства непротиворечивости и независимости утверждений. Впервые он был использован в 1963 году для доказательства независимости аксиомы выбора и гипотезы континуума от теории множеств Цермело — Френкеля. Форсирование было значительно переработанно и упрощено в 1960-х годах и оказалось чрезвычайно мощным методом как в теории множеств, так и в областях математической логики, таких как теория рекурсии. Интуитивно, форсирование заключается в расширении теоретической вселенной множеств V до большей вселенной V*. В этой большей вселенной, например, могут появиться новые подмножества ω = {0, 1, 2, …}, которых не было в исходной вселенной, и тем самым нарушить гипотезу континуума. Хотя это кажется невозможным, это лишь ещё одна версия парадокса Кантора об бесконечности. В принципе, можно рассмотреть возможность отождествления с , а затем ввести расширенное отношение принадлежности, включающее "новые" множества вида. Форсирование является более разработанной версией этой идеи, сводящей расширение к существованию одного нового множества и обеспечивающей точный контроль над свойствами расширенной вселенной. Подробности о применении, например, к случайным действительным числам, можно найти в основных статьях.