Введение

В математике непрерывная симметрия – это интуитивное представление, соответствующее концепции рассмотрения некоторых симметрий как преобразований, в отличие от дискретной симметрии, например, симметрии отражения, которая инвариантна относительно некоторого рода перехода из одного состояния в другое. Однако, дискретную симметрию всегда можно интерпретировать как подмножество некоторой непрерывной симметрии более высокой размерности; например, отражение двухмерного объекта в трехмерном пространстве можно осуществить посредством непрерывного вращения этого объекта на 180 градусов относительно плоскости, не являющейся параллельной.

Формализация

Понятие непрерывной симметрии в значительной степени и успешно было формализовано в математических понятиях топологической группы, группы Ли и группового действия. Для большинства практических целей непрерывная симметрия моделируется групповым действием топологической группы, сохраняющей некоторую структуру. В частности, пусть f – функция, а G – группа, действующая на X; тогда подгруппа H является симметрией f, если f(g⋅x) = f(x) для всех x ∈ X и всех g ∈ H.

Подгруппы с одним параметром

Простейшие движения соответствуют однопараметрической подгруппе группы Ли, например, группе Евклида трехмерного пространства. Так, параллельный перенос вдоль оси x на u единиц, при изменении u, является однопараметрической группой движений. Вращение вокруг оси z также является однопараметрической группой.

Теорема Нётер

Непрерывная симметрия играет фундаментальную роль в теореме Ноэтера в теоретической физике, при выводе законов сохранения из принципов симметрии, в частности, для непрерывных симметрий. Поиск непрерывных симметрий особенно активизировался с дальнейшим развитием квантовой теории поля.