Введение
+ Четыре кантелляции тессерактаКантеллированный тессерактКантеллированная 16-ячейка (Ректифицированная 24-ячейка)16-ячейкаКантиусечённый тессерактКантиусечённая 16-ячейка (Усечённая 24-ячейка)Ортогональные проекции в плоскости A4 Коксетера
В четырехмерной геометрии кантеллированный тессеракт является выпуклым однородным 4-политопом, представляющим собой кантелляцию (усечение второго порядка) правильного тессеракта. Существует четыре степени кантелляции тессеракта, включая варианты с перестановками и усечениями. Два из них также происходят из семейства 24-ячеек.
In four dimensional geometry, a cantellated tesseract is a convex uniform 4 polytope, being a cantellation (a 2nd order truncation) of the regular tesseract. There are four degrees of cantellations of the tesseract including with permutations truncations. Two are also derived from the 24 cell family.
Кентэллованный тесеракт
Диаграмма Шлегеля кантеллированного тесеракта
Центрирован на ромбикубоктаэдре
Октаэдрические ячейки показаны
Тип: Униформенный 4-политоп
Символ Шлефли: rr{4,3,3}
Диаграмма Коксетера
Ячейки: 56
8 {3.4.4.4}
16 {3.3.3.3}
32 {3.4.4}
Грани: 248
128 {3}
120 {4}
Рёбра: 288
Вершины: 96
Фигура вершины: Квадратный клин
Группа симметрии: B4, [3,3,4], порядок 384
Свойства: выпуклый
Униформенный индекс: 13 14 15
Кантеллированный тесеракт, бикантеллированный 16-ячейник или малый ромбический тесеракт — это выпуклый униформенный 4-политоп, или 4-мерный политоп, ограниченный 56 ячейками: 8 малыми ромбикубоктаэдрами, 16 октаэдрами и 32 треугольными призмами.
Строительство
В процессе кантелляции две грани политопа эффективно сжимаются. Ромбикубоктаэдр можно назвать кантеллированным кубом, поскольку если его шесть граней сжать в соответствующих плоскостях, каждая вершина разделится на три вершины треугольников ромбикубоктаэдра, а каждое ребро разделится на два противоположных ребра двенадцати неаксиальных квадратов ромбикубоктаэдра. Когда тот же процесс применяется к тессеракту, каждый из восьми кубов превращается в ромбикубоктаэдр описанным образом. Однако, поскольку каждое ребро куба ранее было общим для двух других кубов, разделяющиеся ребра образуют три параллельных ребра треугольной призмы – 32 треугольных призмы, так как было 32 ребра. Более того, поскольку каждая вершина ранее была общей для трех других кубов, вершина разделится на 12 новых вершин вместо трех. Однако, поскольку некоторые из сжатых граней продолжают быть общими, определенные пары этих 12 потенциальных вершин оказываются идентичными, и поэтому из каждой исходной вершины создается только 6 новых вершин (отсюда 96 вершин кантелированного тессеракта по сравнению с 16 вершинами тессеракта). Эти шесть новых вершин образуют вершины октаэдра – 16 октаэдров, так как тессеракт имел 16 вершин.
Структура
8 небольших ромбикубококтаэдрических ячеек соединены друг с другом через свои осевые квадратные грани. Их неаксиальные квадратные грани, соответствующие ребрам куба, соединены с треугольными призмами. Треугольные грани небольших ромбикубококтаэдров и треугольных призм соединены с 16 октаэдрами. Структуру этого тела можно представить, используя сам тессеракт: ромбикубококтаэдры аналогичны ячейкам тессеракта, треугольные призмы – ребрам тессеракта, а октаэдры – вершинам тессеракта.
Изображения
Показано 16 октаэдров, 32 треугольных призмы.
Контитронированный тесеракт
Кентитрунированный тессеракт-шлегелева диаграмма, центрированная на усечённом кубооктаэдре с невидимыми восьмиугольными гранями. Тип: Правильный 4-политоп. Символ Шлефли: tr{4,3,3}. Диаграммы Коксетера. Ячеек: 56 (8 4.6.8, 16 3.6.6, 32 3.4.4). Граней: 248 (64 {3}, 96 {4}, 64 {6}, 24 {8}). Рёбер: 384. Вершин: 192. Вершинная фигура: Сфеноид. Группа симметрии: B4, [3,3,4], порядок 384. Свойства: выпуклый. Правильный индекс: 17, 18, 19.
В геометрии кентитрунированный тессеракт, или большой ромбоусечённый тессеракт, является правильным 4-политопом (или правильным 4-мерным политопом), ограниченным 56 ячейками: 8 усечённых кубооктаэдров, 16 усечённых тетраэдров и 32 треугольных призм.
Строительство
Кантитрунцированный тессеракт строится путем кантитрунцирования тессеракта. Кантитрункация часто представляется как ректификация с последующей усечением. Однако, результатом такой конструкции был бы политоп, структура которого, хотя и очень похожа на структуру, получаемую при кантитрункации, не имел бы полностью однородных граней. Альтернативно, однородный кантитрунцированный тессеракт можно построить, разместив 8 однородных усечённых кубооктаэдров в гиперплоскостях ячеек тессеракта, со смещением вдоль координатных осей таким образом, чтобы их восьмиугольные грани совпадали. При длине ребра, равной 2, эта конструкция даёт декартовы координаты его вершин в виде всех перестановок:
Структура
8 усеченных кубооктаэдров соединены друг с другом через их восьмиугольные грани, в расположении, соответствующем 8 кубическим ячейкам тессеракта. Они соединены с 16 усеченных тетраэдров через их шестиугольные грани, а их квадратные грани соединены с квадратными гранями 32 треугольных призм. Треугольные грани треугольных призм соединены с усеченными тетраэдрами. Усеченные тетраэдры соответствуют вершинам тессеракта, а треугольные призмы – ребрам тессеракта.
Изображения
Стереографическая проекция кантитронкированного тессеракта, представленная в виде развёртки на 3-сфере, с 64 синими треугольниками, 96 зелёными квадратами и 64 красными гексагональными гранями (восьмиугольные грани не изображены).