Введение
В математической логике формальный расчет или формальная операция — это систематическое вычисление, не имеющее строгого обоснования. Он включает в себя манипулирование символами в выражении посредством обобщенной подстановки без доказательства справедливости необходимых условий. По сути, он оперирует формой выражения, не учитывая его смысл. Такое рассуждение может служить положительным свидетельством истинности некоторого утверждения, когда его доказательство затруднительно или не требуется, или же вдохновением для создания новых (полностью строгих) определений. Однако эта интерпретация термина "формальный" не является универсальной, и некоторые понимают его как противоположное: полностью строгое доказательство, как в формальной математической логике.
Примеры
Формальные вычисления могут приводить к результатам, которые неверны в одном контексте, но верны в другом. Уравнение справедливо, если абсолютное значение q меньше 1. Игнорируя это ограничение и подставляя q = 2, получаем. Подставляя q = 2 в доказательство первого уравнения, получаем формальное вычисление, приводящее к последнему уравнению. Однако это неверно для действительных чисел, поскольку ряд расходится. Тем не менее, в других контекстах (например, при работе с 2-адическими числами или с целыми числами по модулю степени 2) ряд сходится. Формальное вычисление подразумевает, что последнее уравнение должно быть справедливо в этих контекстах. Другой пример получается при подстановке q = 1. Получающийся ряд 1 + 1 + 1 + 1 + … расходится (для действительных и p-адических чисел), но ему можно присвоить значение альтернативным методом суммирования, например, суммированием Чезаро. Полученное значение, 1/2, совпадает со значением, полученным формальным вычислением.
holds if q has an absolute value less than 1. Ignoring this restriction, and substituting q = 2 to leads to
Substituting q=2 into the proof of the first equation, yields a formal calculation that produces the last equation. But it is wrong over the real numbers, since the series does not converge. However, in other contexts (e. g. working with 2 adic numbers, or with integers modulo a power of 2), the series does converge. The formal calculation implies that the last equation must be valid in those contexts. Another example is obtained by substituting q= 1. The resulting series 1 1+1 1+ is divergent (over the real and the p adic numbers) but a value can be assigned to it with an alternative method of summation, such as Cesàro summation. The resulting value, 1/2, is the same as that obtained by the formal computation.
Формальные серии мощности
Формальный степенной ряд – это концепция, заимствующая форму степенного ряда из вещественного анализа. Слово «формальный» указывает на то, что ряд не обязан сходиться. В математике, и особенно в алгебре, формальный ряд – это бесконечная сумма, рассматриваемая независимо от какого-либо понятия сходимости и подвергаемая алгебраическим операциям над рядами (сложение, вычитание, умножение, деление, частичные суммы и т. д.). Формальный степенной ряд – это особый вид формального ряда, который можно рассматривать как обобщение многочлена, где число членов может быть бесконечным, без каких-либо требований к сходимости. Таким образом, ряд может больше не представлять функцию своей переменной, а являться лишь формальной последовательностью коэффициентов, в отличие от степенного ряда, который определяет функцию, принимая числовые значения для переменной в пределах радиуса сходимости. В формальном степенном ряду степени переменной используются только как заполнители для коэффициентов, так что коэффициент является пятым членом в последовательности. В комбинаторике метод генерирующих функций использует формальные степенные ряды для представления числовых последовательностей и мультимножеств, например, позволяя лаконично выражать рекурсивно заданные последовательности, независимо от того, можно ли рекурсию явно решить. В более общем случае, формальные степенные ряды могут включать ряды с любым конечным (или счетным) числом переменных и с коэффициентами в произвольном кольце. Кольца формальных степенных рядов – это полные локальные кольца, что поддерживает методы, подобные исчислению, в чисто алгебраической структуре алгебраической геометрии и коммутативной алгебры. Они аналогичны p-адическим целым числам, которые можно определить как формальные ряды степеней p.