Введение
Математический идеал, связанный с модулярной кривой. В математике идеал Эйзенштейна — это идеал в кольце эндоморфизмов якобиана модулярной кривой, состоящий, грубо говоря, из элементов алгебры Гекке операторов Гекке, аннулирующих ряды Эйзенштейна. Он был введен в [имя исследователя], при изучении рациональных точек модулярных кривых. Простой Эйзенштейна — это простое число в носителе идеала Эйзенштейна (это не связано с простыми числами в целых числах Эйзенштейна).
In mathematics, the Eisenstein ideal is an ideal in the endomorphism ring of the Jacobian variety of a modular curve, consisting roughly of elements of the Hecke algebra of Hecke operators that annihilate the Eisenstein series. It was introduced by , in studying the rational points of modular curves. An Eisenstein prime is a prime in the support of the Eisenstein ideal (this has nothing to do with primes in the Eisenstein integers).
Геометрическое определение
Предположим, что T* — это кольцо, порожденное операторами Гекке, действующими на все модульные формы для Γ0(N) (а не только на формы с острым углом). Кольцо T операторов Гекке на формах с острым углом является факторкольцом T*, поэтому Spec(T) можно рассматривать как подсхему Spec(T*). Аналогично, Spec(T*) содержит прямую (называемую линией Эйзенштейна), изоморфную Spec(Z), возникающую из действия операторов Гекке на рядах Эйзенштейна. Идеал Эйзенштейна — это идеал, определяющий пересечение линии Эйзенштейна со Spec(T) в Spec(T*).
Пример
Идеал Эйзенштейна также может быть определен для модульных форм с более высоким весом. Пусть T — полная алгебра Хекке, порожденная операторами Хекке Tn, действующими на двумерное пространство модульных форм уровня 1 и веса 12. Это пространство двумерно и порождается собственными формами, заданными рядом Эйзенштейна E12 и модульным дискриминантом Δ. Отображение, переводящее оператор Хекке Tn в его собственные значения (σ11(n), τ(n)), задает гомоморфизм из T в кольцо Z × Z (где τ — функция Рамануджана тау, а σ11(n) — сумма 11-х степеней делителей n). Образ представляет собой множество пар (c, d), где c и d сравнимы по модулю 691 в силу конгруэнтности Рамануджана σ11(n) ≡ τ(n) (mod 691). Алгебра Хекке операторов Хекке, действующих на куспидальную форму Δ, изоморфна Z. Если отождествить ее с Z, то идеал Эйзенштейна равен (691).