Введение
В теории множеств основная модель — это определяемая внутренняя модель вселенной всех множеств. Хотя теоретики множеств говорят об "основной модели", это не единственный математический объект. Скорее, это класс внутренних моделей, которые при определенных теоретико-множественных предположениях обладают особыми свойствами, в частности, свойствами покрытия. Интуитивно, основная модель — это "наибольшая каноническая внутренняя модель" (Эрнест Шиммерлинг и Джон Р. Стил) и обычно связана с понятием большого кардинала. Если Φ — понятие большого кардинала, то фраза "основная модель ниже Φ" относится к определяемой внутренней модели, демонстрирующей особые свойства при условии, что не существует кардинала, удовлетворяющего Φ. Программа исследования основных моделей направлена на анализ аксиом больших кардиналов путем определения основных моделей, лежащих ниже этих аксиом.
История
Первой основной моделью была конструктивная вселенная Курта Гёделя L. Рональд Дженсен доказал лемму о покрытии для L в 1970-х годах, исходя из предположения о несуществовании 0♯, установив, что L является "основной моделью ниже 0♯". Работы Соловая выделили другую основную модель L[U], где U — ультрафильтр на измеримом кардинале (и связанный с ним "sharp", 0†). Вместе с Тони Доддом Дженсен построил основную модель Додда — Дженсена ("основная модель ниже измеримого кардинала") и доказал лемму о покрытии для неё и обобщённую лемму о покрытии для L[U]. Митчелл использовал когерентные последовательности мер для разработки основных моделей, содержащих множественные или кардиналы более высокой измеримости. Позднее модель Steel Core использовала расширители и итерационные деревья для построения основной модели ниже кардинала Вуддина.
Создание базовых моделей
Основные модели строятся трансфинитной рекурсией из небольших фрагментов основной модели, называемых "мышами". Важным элементом построения является лемма о сравнении, позволяющая установить взаимно однозначное упорядочение релевантных "мышей". На уровне сильных кардиналов и выше строится промежуточная счетно сертифицированная модель ядра Kc, а затем, если это возможно, из нее извлекается K.
Свойства базовых моделей
Kc (и, следовательно, K) является моделью расширителя с тонкой структурой, счетно итерируемой, находящейся ниже длинных расширителей. (В настоящее время неизвестно, как работать с длинными расширителями, которые устанавливают, что кардинал суперсильный.) Здесь счетная итерируемость означает ω1+1-итерируемость для всех счетных элементарных подструктур начальных сегментов, и достаточно разработать базовую теорию, включая определенные свойства конденсации. Теория таких моделей канонична и хорошо изучена. Они удовлетворяют GCH, принципу ромба для всех стационарных подмножеств регулярных кардиналов, принципу квадрата (за исключением субкомпактных кардиналов) и другим принципам, выполняющимся в L.
Kc максимальна в нескольких смыслах. Kc правильно вычисляет преемников измеримых и многих сингулярных кардиналов. Также ожидается, что при соответствующем ослаблении счетной сертифицируемости, Kc будет правильно вычислять преемников всех слабо компактных и сингулярных сильных предельных кардиналов. Если V замкнута относительно оператора мыши (оператора внутренней модели), то Kc также замкнута. У Kc нет резкости: не существует естественного нетривиального элементарного вложения Kc в себя. (Однако, в отличие от K, Kc может быть элементарно самовстраиваемой.) Если в этой модели также нет кардиналов Вуддина (за исключением некоторых конкретных случаев, неизвестно, как должна быть определена базовая модель, если Kc содержит кардиналы Вуддина), мы можем извлечь фактическую базовую модель K. K также является собственной базовой моделью. K локально определима и генерически абсолютна: для каждого генерического расширения V, для каждого кардинала κ>ω1 в V[G], K, построенная в H(κ) в V[G], равна K∩H(κ). (Это было бы невозможно, если бы K содержала кардиналы Вуддина). K максимальна, универсальна и полностью итерируема. Это подразумевает, что для каждой итерируемой модели расширителя M (называемой мышью) существует элементарное вложение M→N и начального сегмента K в N, и если M универсальна, вложение будет K в M.
Предполагается, что если K существует и V замкнута относительно резкого оператора M, то K является Σ11-корректной, допуская вещественные числа в K в качестве параметров и M в качестве предиката. Это эквивалентно Σ13-корректности (в обычном смысле), если M = x→x#. Базовая модель также может быть определена над определенным множеством ординалов X: X принадлежит K(X), но K(X) удовлетворяет обычным свойствам K над X. Если не существует итерируемой внутренней модели с ω кардиналами Вуддина, то для некоторого X существует K(X). Вышеизложенное обсуждение K и Kc обобщается на K(X) и Kc(X).