Введение

Симметричная моноидальная замкнутая категория, оснащенная дуализирующим объектом. В математике, *автономная (читается "звездочная автономная") категория C — это симметричная моноидальная замкнутая категория, оснащенная дуализирующим объектом. Эта концепция также называется категорией Гротендика — Вердье в связи с ее отношением к понятию дуальности Вердье.

Свойства

Компактные замкнутые категории * автономны, при этом моноидная единица является дуализирующим объектом. И наоборот, если единица * автономной категории является дуализирующим объектом, то существует каноническое семейство отображений.

Эти отображения являются изоморфизмами тогда и только тогда, когда * автономная категория является компактно замкнутой.

Примеры

Пример – категория конечномерных векторных пространств над любым полем k, снабжённая моноидальной структурой с обычным тензорным произведением векторных пространств. Дуализирующим объектом является k, одномерное векторное пространство, а дуализация соответствует транспонированию. Хотя категория всех векторных пространств над k не является * автономной, подходящие расширения категорий топологических векторных пространств могут быть сделаны * автономными. С другой стороны, категория топологических векторных пространств содержит чрезвычайно широкую полную подкатегорию – категорию стереотипных пространств Ste, которая является * автономной категорией с дуализирующим объектом и тензорным произведением.

Различные модели линейной логики образуют * автономные категории, самой ранней из которых была категория пространств когерентности Жана-Ива Жирара. Категория полных полурешёток с морфизмами, сохраняющими все объединения, но не обязательно пересечения, является * автономной с дуализатором – цепью из двух элементов. Вырожденный пример (все множества гомоморфизмов имеют кардинальность не более единицы) даёт любая булева алгебра (как частично упорядоченное множество), снабжённая моноидальной структурой с использованием конъюнкции для тензорного произведения и принятием 0 в качестве дуализирующего объекта. Формализм дуальности Вердье даёт дополнительные примеры * автономных категорий. Например, следует упомянуть, что ограниченная производная категория конструктивных l-адических пучков на алгебраическом многообразии обладает этим свойством. Дальнейшие примеры включают производные категории конструктивных пучков на различных типах топологических пространств. Примером самодвойственной категории, которая не является * автономной, служат конечные линейные порядки и непрерывные функции, которые имеют *, но не являются автономными: её дуализирующий объект – цепь из двух элементов, но тензорного произведения нет. Категория множеств и их частичных инъекций является самодвойственной, поскольку обратное к последнему снова является частичной инъекцией. Понятие * автономной категории было введено Майклом Барром в 1979 году в монографии с таким названием. Барр определил это понятие для более общей ситуации V-категорий, категорий, обогащённых симметричной моноидальной или автономной категорией V. Приведённое выше определение специализирует определение Барра для случая V = Set обычных категорий, тех, чьи гомообъекты образуют множества (морфизмов). Монография Барра включает приложение его ученика По Сян Чу, в котором разрабатываются детали конструкции, предложенной Барром, показывающей существование нетривиальных * автономных V-категорий для всех симметричных моноидальных категорий V с обратными пределами, объекты которых стали известны десятилетие спустя как пространства Чу.

Несимметричный случай

В двузакрытой моноидной категории C, не обязательно симметричной, всё ещё возможно определить дуализирующий объект, а затем определить *автономную категорию как двузакрытую моноидную категорию, обладающую дуализирующим объектом. Эти определения эквивалентны, как и в симметричном случае.