Введение
Матрица, все элементы которой ≥0. В математике неотрицательная матрица – это матрица, в которой все элементы равны или больше нуля, то есть,
In mathematics, a nonnegative matrix, written
is a matrix in which all the elements are equal to or greater than zero, that is,
A positive matrix is a matrix in which all the elements are strictly greater than zero. The set of positive matrices is the interior of the set of all non negative matrices. While such matrices are commonly found, the term "positive matrix" is only occasionally used due to the possible confusion with positive definite matrices, which are different. A matrix which is both non negative and is positive semidefinite is called a doubly non negative matrix. A rectangular non negative matrix can be approximated by a decomposition with two other non negative matrices via non negative matrix factorization. Eigenvalues and eigenvectors of square positive matrices are described by the Perron–Frobenius theorem.
Положительная матрица – это матрица, в которой все элементы строго больше нуля. Множество положительных матриц является внутренностью множества всех неотрицательных матриц. Хотя такие матрицы часто встречаются, термин "положительная матрица" используется нечасто из-за возможной путаницы с положительно определенными матрицами, которые являются иными. Матрица, которая одновременно является неотрицательной и положительно полуопределенной, называется двойно неотрицательной матрицей. Прямоугольную неотрицательную матрицу можно приближенно представить разложением на две другие неотрицательные матрицы с помощью факторизации неотрицательной матрицы. Собственные значения и собственные векторы квадратных положительных матриц описываются теоремой Перрона — Фробениуса.
In mathematics, a nonnegative matrix, written
is a matrix in which all the elements are equal to or greater than zero, that is,
A positive matrix is a matrix in which all the elements are strictly greater than zero. The set of positive matrices is the interior of the set of all non negative matrices. While such matrices are commonly found, the term "positive matrix" is only occasionally used due to the possible confusion with positive definite matrices, which are different. A matrix which is both non negative and is positive semidefinite is called a doubly non negative matrix. A rectangular non negative matrix can be approximated by a decomposition with two other non negative matrices via non negative matrix factorization. Eigenvalues and eigenvectors of square positive matrices are described by the Perron–Frobenius theorem.
Свойства
След произведения и сумма каждой строки и каждого столбца неотрицательной матрицы неотрицательны.
Инверсия
Обратная любой невырожденной матрицы M является неотрицательной матрицей. Если невырожденная матрица M также симметрична, то она называется матрицей Стильтьеса. Обратная неотрицательной матрицы обычно не является неотрицательной. Исключением являются неотрицательные мономиальные матрицы: неотрицательная матрица имеет неотрицательную обратную тогда и только тогда, когда она является (неотрицательной) мономиальной матрицей. Следует отметить, что таким образом обратная положительной матрицы не является положительной и даже неотрицательной, поскольку положительные матрицы не являются мономиальными при размерности n > 1.
Специализации
Существует несколько групп матриц, являющихся специализациями неотрицательных матриц, например, стохастическая матрица, двукратно стохастическая матрица и симметричная неотрицательная матрица.