Введение

В математике, особенно в функциональном анализе, алгебра Фреше, названная в честь Мориса Рене Фреше, является ассоциативной алгеброй над действительными или комплексными числами, которая одновременно является (локально выпуклым) пространством Фреше. Операция умножения в ней должна быть совместно непрерывной. Если задано возрастающее семейство семинорм для топологии , то совместная непрерывность умножения эквивалентна существованию константы и целого числа для каждого , таких что для всех . Алгебры Фреше также называются B0-алгебрами. Алгебра Фреше называется выпуклой, если существует семейство семинорм, для которых в этом случае, путем перемасштабирования семинорм, можно также взять для каждого , и эти семинормы называются субмультипликативными: для всех . Выпуклые алгебры Фреше также можно называть алгебрами Фреше. Алгебра Фреше может как иметь, так и не иметь единичный элемент. Если алгебра унитальная, мы не требуем выполнения условия , как это часто делается для алгебр Банаха.

Свойства

Непрерывность умножения. Умножение является раздельно непрерывным, если и для каждого и последовательности, сходящейся в топологии Фреше. Умножение является совместно непрерывным, если и подразумевают. Совместная непрерывность умножения является частью определения алгебры Фреше. Для пространства Фреше с алгебраической структурой, если умножение является раздельно непрерывным, то оно автоматически является совместно непрерывным. Группа обратимых элементов. Если является множеством обратимых элементов , то обратное отображение непрерывно тогда и только тогда, когда это открытое множество. В отличие от алгебр Банаха, не обязательно является открытым множеством. Если оно открыто, то называется -алгеброй. (Если оказывается, что не является единичной, то мы можем присоединить единицу к , или множество квазиобратимых элементов может занять его место.) Условия выпуклости. Алгебра Фреше является выпуклой, если и только если для каждого, если и только если существует возрастающая семья семинорм, топологизирующих , для каждой из которых существуют и такие, что для всех. Коммутативная алгебра Фреше является выпуклой, но существуют примеры некоммутативных алгебр Фреше, которые не являются выпуклыми. Свойства выпуклых алгебр Фреше. Алгебра Фреше является выпуклой, если и только если она является счетным проективным пределом алгебр Банаха. Элемент является обратимым, если и только если его образ в каждой алгебре Банаха проективного предела является обратимым.

Примеры

Нулевое умножение. Если – любое пространство Фреше, мы можем ввести структуру алгебры Фреше, определив для всех – гладкие функции на окружности. Пусть – 1-сфера. Это одномерное компактное дифференцируемое многообразие без границы. Пусть – множество бесконечно дифференцируемых комплекснозначных функций на . Это очевидно алгебра над комплексными числами относительно поточечного умножения (используйте правило произведения для дифференцирования). Она коммутативна, а постоянная функция выступает в качестве единицы. Определим счетное множество полунорм на как , где обозначает супремум абсолютной величины -й производной. Тогда, по правилу произведения для дифференцирования, имеем , где обозначает биномиальный коэффициент, а – целое число. Приведённые полунормы субмультипликативны после перемасштабирования на . Последовательности. Пусть – пространство комплекснозначных последовательностей на натуральных числах. Определим возрастающую семейство полунорм на как . При поточечном умножении является коммутативной алгеброй Фреше. Фактически, каждая полунорма субмультипликативна для . Эта выпуклая алгебра Фреше унитальна, поскольку постоянная последовательность принадлежит . Оснащённая топологией равномерной сходимости на компактных множествах и поточечным умножением, является алгеброй всех непрерывных функций на комплексной плоскости или алгеброй голоморфных функций на . Конволюционная алгебра быстро убывающих функций на конечно порожденной дискретной группе. Пусть – конечно порожденная группа с дискретной топологией. Это означает, что существует множество конечного числа элементов , таких что: Без потери общности, можно также предположить, что единичный элемент содержится в . Определим функцию как . Тогда и , поскольку мы определяем . Пусть – векторное пространство, где полунормы определены как . Это выпуклая алгебра Фреше относительно конволюционного умножения. Она унитальна, потому что дискретна, и коммутативна тогда и только тогда, когда абелева. Невыпуклые алгебры Фреше. Алгебра Арена является примером коммутативной невыпуклой алгебры Фреше с разрывным обращением. Топология задается нормами , а умножение – сверткой функций относительно меры Лебега на .

Обобщения

Мы можем отказаться от требования локальной выпуклости алгебры, но сохранить требование полноты метрического пространства. В этом случае, лежащее в основе пространство может называться пространством Фреше или F-пространством. Если отказаться от требования счётности числа семинармов, алгебра становится локально выпуклой (LC) или локально мультипликативно выпуклой (LMC). Полная LMC-алгебра называется алгеброй Аренса-Михаэля.

Открытые проблемы

Возможно, наиболее известной нерешенной проблемой теории топологических алгебр является вопрос о том, являются ли все линейные мультипликативные функционалы на выпуклой алгебре Фреше непрерывными. Утверждение об этом известно как гипотеза Майкла.