Введение

В теории музыкальных множеств вектор интервала — это массив натуральных чисел, суммирующий интервалы, присутствующие в наборе классов высоты тона. (То есть, набор тонов, где октавы не учитываются.) Другие названия включают: ic-вектор (или вектор класса интервала), PIC-вектор (или вектор интервала класса шага) и APIC-вектор (или вектор интервала абсолютного класса шага, который, по мнению Михеля Шуйера, является более корректным). Современная нотация, предложенная Алленом Форте, обладает значительными преимуществами и может быть расширена на любое равное деление октавы. Гамма, вектор интервала которой содержит шесть различных цифр, называется гаммой с глубоким масштабом. Мажорная гамма и её лады обладают этим свойством. В качестве практического примера, вектор интервала для до-мажорного трезвучия (3 11B) в основном виде, {C E G}, означает, что множество содержит одну большую терцию или малую сексту (т. е. от C до E, или от E до C), одну малую терцию или большую сексту (т. е. от E до G, или от G до E), и одну чистую квинту или чистую кварту (т. е. от C до G, или от G до C). Поскольку вектор интервала не изменяется при транспонировании или инверсии, он относится ко всему классу множеств, то есть является вектором для всех мажорных (и минорных) трезвучий. Некоторые векторы интервала соответствуют более чем одному множеству, которое нельзя получить друг из друга транспозицией или инверсией. (Такие множества называются Z-связанными, что объясняется ниже). Для множества из n классов высоты сумма всех чисел в векторе интервала множества равна треугольному числу Tn−1 = Расширенная форма вектора интервала также используется в теории трансформаций, как описано в книге Дэвида Левина «Обобщённые музыкальные интервалы и трансформации».

Z-отношение

В теории музыкальных множеств, Z-отношение, также называемое изомерным отношением, является отношением между двумя множествами классов высоты звука, в которых оба множества имеют одинаковый интервальный состав (и, следовательно, один и тот же интервальный вектор), но не связаны транспозицией (являются разными по типу Tn) или инверсией (являются разными по типу Tn/TnI). См. изомер. По словам Михеля Шуйера (2008), теорема о гексахорде, утверждающая, что любые два комплементарных гексахорда класса высоты звука имеют одинаковый интервальный вектор, даже если они не эквивалентны при транспозиции и инверсии, была впервые предложена Милтоном Бэббитом, а «открытие этого отношения» было «сообщено» Дэвидом Левином в 1960 году как пример теоремы о дополнении: разница между интервалами класса высоты звука в двух комплементарных множествах классов высоты звука равна разнице между кардинальным числом этих множеств (для двух гексахордов эта разница равна 0). Математические доказательства теоремы о гексахорде были опубликованы Касслером (1961), Регенером (1974) и Уилкоксом (1983). Штраус утверждает, что «множества в Z-отношении будут звучать похоже, поскольку они имеют одинаковый интервальный состав», что побудило некоторых композиторов использовать Z-отношение в своих произведениях. Например, взаимодействие между {0,1,4,6} и {0,1,3,7} очевидно во Втором струнном квартете Эллиота Картера.

Умножение

Некоторые аккорды, связанные с Z, связаны между собой посредством M или IM (умножения на 5 или умножения на 7) из-за совпадения значений 1 и 5 в интервальном векторе.