Введение
Техника волнового анализа
Схема подъема – это техника, используемая как для проектирования вейвлетов, так и для выполнения дискретного вейвлет-преобразования (DWT). При реализации часто целесообразно объединить эти этапы и разрабатывать вейвлет-фильтры непосредственно во время выполнения вейвлет-преобразования. Это и называется вейвлет-преобразованием второго поколения. Техника была предложена Вимом Свелденсом. Схема подъема разлагает любое дискретное вейвлет-преобразование с конечными фильтрами на последовательность элементарных сверточных операций, называемых шагами подъема, что почти вдвое снижает количество арифметических операций. Также упрощается обработка границ сигнала. Дискретное вейвлет-преобразование применяет несколько фильтров независимо к одному и тому же сигналу. В отличие от этого, в схеме подъема сигнал разделяется подобно молнии. Затем к разделенным сигналам применяется серия операций свертки с накоплением.
Фильтр CDF 9/7
Для выполнения преобразования CDF 9/7 требуется в общей сложности четыре шага подъема: два шага предсказания и два шага обновления. Факторизация подъема приводит к следующей последовательности этапов фильтрации. Она основана на классической схеме подъема и обобщает ее, устраняя ограничение, скрытое в структуре схемы. Классическая схема подъема имеет три вида операций: ленивое вейвлет-преобразование разделяет сигнал на два новых сигнала: сигнал нечетных выборок, обозначаемый , и сигнал четных выборок, обозначаемый . Шаг предсказания вычисляет прогноз для нечетных выборок на основе четных выборок (или наоборот). Этот прогноз вычитается из нечетных выборок, создавая сигнал ошибки . Шаг обновления перекалибрует низкочастотную ветвь, компенсируя часть энергии, удаленной при понижении дискретизации. В случае классического подъема это используется для "подготовки" сигнала к следующему шагу предсказания. Он использует предсказанные нечетные выборки для подготовки четных (или наоборот). Это обновление вычитается из четных выборок, в результате чего получается сигнал, обозначаемый . Схема обратима благодаря своей структуре. В приемнике шаг обновления вычисляется первым, а его результат добавляется обратно к четным выборкам, после чего можно вычислить точно такое же предсказание и добавить его к нечетным выборкам. Для восстановления исходного сигнала необходимо инвертировать ленивое вейвлет-преобразование. Обобщенная схема подъема имеет те же три вида операций. Однако эта схема позволяет избежать ограничения на сложение и вычитание, характерного для классического подъема, что имеет определенные последствия. Например, конструкция каждого этапа должна гарантировать обратимость схемы (что не гарантируется при устранении ограничения на сложение и вычитание).
A lazy wavelet transform splits signal in two new signals: the odd samples signal denoted by and the even samples signal denoted by A prediction step computes a prediction for the odd samples, based on the even samples (or vice versa). This prediction is subtracted from the odd samples, creating an error signal An update step recalibrates the low frequency branch with some of the energy removed during subsampling. In the case of classical lifting, this is used in order to "prepare" the signal for the next prediction step. It uses the predicted odd samples to prepare the even ones (or vice versa). This update is subtracted from the even samples, producing the signal denoted by
The scheme is invertible due to its structure. In the receiver, the update step is computed first with its result added back to the even samples, and then it is possible to compute exactly the same prediction to add to the odd samples. In order to recover the original signal, the lazy wavelet transform has to be inverted. Generalized lifting scheme has the same three kinds of operations. However, this scheme avoids the addition subtraction restriction that offered classical lifting, which has some consequences. For example, the design of all steps must guarantee the scheme invertibility (not guaranteed if the addition subtraction restriction is avoided).
Дизайн
Для шага предсказания разработано несколько вариантов схем отображения. Проектирование шага обновления не было проработано столь детально, поскольку остаётся неясным, насколько полезен этот шаг на практике. Основное применение данной техники – сжатие изображений. Существуют интересные работы, например, и.