Введение
В алгебре кольцо Гильберта или кольцо Якобсона — это кольцо, в котором каждый простой идеал является пересечением примитивных идеалов. Для коммутативных колец примитивные идеалы совпадают с максимальными идеалами, поэтому в этом случае кольцо Якобсона — это кольцо, в котором каждый простой идеал является пересечением максимальных идеалов. Кольца Якобсона были введены независимо друг от друга, который назвал их в честь Натана Якобсона из-за их связи с радикалами Якобсона, и , который назвал их кольцами Гильберта в честь Давида Гильберта из-за их связи с теоремой о нулях Гильберта.
Кольца Якобсона и Nullstellensatz
Теорема Гильберта о нуль-нулях алгебраической геометрии является частным случаем утверждения о том, что кольцо многочленов от конечного числа переменных над полем является кольцом Гильберта. Общая форма теоремы о нуль-нулях утверждает, что если R – кольцо Якобсона, то любая конечно порожденная R-алгебра S также является кольцом Якобсона. Более того, прообраз любого максимального идеала J в S является максимальным идеалом I в R, а S/J является конечным расширением поля R/I. В частности, морфизм конечного типа между кольцами Якобсона индуцирует морфизм между максимальными спектрами этих колец. Это объясняет, почему для алгебраических многообразий над полями часто достаточно работать с максимальными идеалами, а не со всеми простыми идеалами, как это делалось до введения схем. Для более общих колец, таких как локальные кольца, уже неверно, что морфизмы колец индуцируют морфизмы максимальных спектров, и использование простых идеалов вместо максимальных идеалов приводит к более стройной теории.
Примеры
Любое поле является кольцом Якобсона. Любой главный идеальный домен или домен Дедекинда с радикалом Якобсона, равным нулю, является кольцом Якобсона. В главных идеальных доменах и доменах Дедекинда ненулевые простые идеалы уже максимальны, поэтому единственное, что нужно проверить, – это является ли нулевой идеал пересечением максимальных идеалов. Требование, чтобы радикал Якобсона был равен нулю, это гарантирует. В главных идеальных доменах и доменах Дедекинда радикал Якобсона исчезает тогда и только тогда, когда существует бесконечно много простых идеалов. Любая конечно порожденная алгебра над кольцом Якобсона является кольцом Якобсона. В частности, любая конечно порожденная алгебра над полем или целыми числами, такая как координатное кольцо любого аффинного алгебраического множества, является кольцом Якобсона. Локальное кольцо имеет ровно один максимальный идеал, поэтому оно является кольцом Якобсона тогда и только тогда, когда этот максимальный идеал является единственным простым идеалом. Таким образом, любое коммутативное локальное кольцо с крулловской размерностью, равной нулю, является кольцом Якобсона, но если крулловская размерность равна 1 или больше, кольцо не может быть кольцом Якобсона. Было показано, что любая счетно порожденная алгебра над несчетным полем является кольцом Якобсона. Алгебры Тейта над неархимедовыми полями являются кольцами Якобсона. Коммутативное кольцо R является кольцом Якобсона тогда и только тогда, когда R[x], кольцо многочленов над R, является кольцом Якобсона.