Введение
Исключение из предложенного общего правила. Контрпример – это любое исключение из обобщения. В логике контрпример опровергает обобщение, делая это строго в математике и философии. Например, тот факт, что «студент Джон Смит не ленив», является контрпримером к обобщению «студенты ленивы», и одновременно является контрпримером и опровержением универсального утверждения «все студенты ленивы». В математике термин «контрпример» также используется (с некоторым допущением) для обозначения примеров, иллюстрирующих необходимость полного условия теоремы. Чаще всего это достигается путем рассмотрения случая, когда часть условия не выполняется, и заключение теоремы неверно.
A counterexample is any exception to a generalization. In logic a counterexample disproves the generalization, and does so rigorously in the fields of mathematics and philosophy. For example, the fact that "student John Smith is not lazy" is a counterexample to the generalization "students are lazy", and both a counterexample to, and disproof of, the universal quantification "all students are lazy." In mathematics, the term "counterexample" is also used (by a slight abuse) to refer to examples which illustrate the necessity of the full hypothesis of a theorem. This is most often done by considering a case where a part of the hypothesis is not satisfied and the conclusion of the theorem does not hold.
В математике
В математике контрпримеры часто используются для определения границ применимости теорем. Используя контрпримеры, чтобы показать ложность определенных утверждений, математики могут избежать бесперспективных направлений исследований и научиться модифицировать эти утверждения для получения доказуемых теорем. Иногда утверждают, что математический прогресс заключается главным образом в поиске (и доказательстве) теорем и контрпримеров.
Пример прямоугольника
Предположим, что математик изучает геометрию и фигуры и хочет доказать определенные теоремы о них. Она выдвигает предположение, что "Все прямоугольники являются квадратами", и ей интересно узнать, истинно ли это утверждение или ложно. В этом случае она может либо попытаться доказать истинность утверждения, используя дедуктивные рассуждения, либо попытаться найти контрпример к утверждению, если она подозревает, что оно ложно. В последнем случае контрпример будет представлять собой прямоугольник, который не является квадратом, например, прямоугольник со сторонами длиной 5 и 7. Однако, несмотря на то, что она нашла прямоугольники, которые не были квадратами, все найденные ею прямоугольники имели четыре стороны. Тогда она формулирует новую гипотезу: "Все прямоугольники имеют четыре стороны". Эта гипотеза логически слабее исходной, поскольку каждый квадрат имеет четыре стороны, но не каждая фигура с четырьмя сторонами является квадратом. Приведенный выше пример, в упрощенном виде, объясняет, как математик может ослабить свою гипотезу, столкнувшись с контрпримерами, но контрпримеры также могут использоваться для демонстрации необходимости определенных предположений и гипотез. Например, предположим, что математик, упомянутая выше, в итоге пришла к новой гипотезе: "Все фигуры, которые являются прямоугольниками и имеют четыре стороны равной длины, являются квадратами". Эта гипотеза состоит из двух частей: фигура должна быть "прямоугольником" и иметь "четыре стороны равной длины". Затем математик хочет узнать, может ли она убрать какое-либо из этих предположений, сохранив при этом истинность своей гипотезы. Это означает, что ей необходимо проверить истинность следующих двух утверждений: "Все фигуры, которые являются прямоугольниками, являются квадратами" и "Все фигуры, имеющие четыре стороны равной длины, являются квадратами". Контрпример к первому утверждению (1) уже был приведен выше, а контрпример ко второму утверждению (2) – ромб, не являющийся квадратом. Таким образом, математик теперь знает, что оба предположения действительно были необходимы.
"All shapes that are rectangles are squares." "All shapes that have four sides of equal length are squares". A counterexample to (1) was already given above, and a counterexample to (2) is a non square rhombus. Thus, the mathematician now knows that both assumptions were indeed necessary.
Другие математические примеры
Контрпример к утверждению "все простые числа — нечетные" — число 2, поскольку оно является простым, но не является нечетным. Существуют также контрпримеры с n = 5; теперь известны и другие контрпримеры с n = 5, а также некоторые контрпримеры с n = 4. Контрпример Витсенхаузена показывает, что не всегда верно (для задач управления), что квадратичная функция потерь и линейное уравнение эволюции переменной состояния приводят к оптимальным законам управления, которые являются линейными. Другие примеры включают опровержения гипотезы Сейферта, гипотезы Пойи, гипотезы, связанной с четырнадцатой проблемой Гильберта, гипотезы Тейта и гипотезы Ганеи.
В философии
В философии контрпримеры обычно используются для доказательства ошибочности определенной философской позиции, показывая, что она не применима в некоторых случаях. В качестве альтернативы, первоначальный философ может изменить свое утверждение, чтобы контрпример больше не был релевантен; это аналогично тому, как математик изменяет предположение в ответ на контрпример. Например, в «Горгии» Платона Калликл, пытаясь определить, что значит говорить о том, что одни люди «лучше» других, утверждает, что более сильные люди лучше. Но Сократ отвечает, что из-за своей численности класс простого народа сильнее класса знати, владеющей имуществом, даже если массы, на первый взгляд, имеют худшие моральные качества. Таким образом, Сократ предложил контрпример утверждению Калликла, рассмотрев область, которую Калликл, возможно, не ожидал – группы людей, а не отдельных личностей. Калликл мог бы оспорить контрпример Сократа, утверждая, например, что простой народ действительно лучше знати, или что даже в большом количестве они все равно не сильнее. Но если Калликл примет контрпример, то он должен либо отказаться от своего утверждения, либо изменить его так, чтобы контрпример больше не был применим. Например, он может изменить свое утверждение, чтобы оно относилось только к отдельным лицам, заставляя его рассматривать простых людей как совокупность индивидуумов, а не как толпу. В итоге он изменил свое утверждение, заменив слово «сильнее» на «мудрее», утверждая, что никакое численное превосходство не может сделать людей мудрее.