Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Когда риманово многообразие с секционной кривизной в интервале (1, 4] является сферой.
Теорема о сфере для римановых многообразий
On when a Riemannian manifold with sectional curvature in the interval (1, 4] is a sphere
sphere theorem for Riemannian manifolds
В римановой геометрии теорема о сфере, также известная как теорема о четверти зажатой сферы, сильно ограничивает топологию многообразий, допускающих метрики с определенным ограничением на кривизну. Точная формулировка теоремы следующая: если M – полное, простосвязное, n-мерное риманово многообразие с секционной кривизной, принимающей значения в интервале (1, 4], то M гомеоморфно n-сфере. (Точнее, мы имеем в виду, что секционная кривизна каждой 2-мерной касательной плоскости в каждой точке должна лежать в интервале (1, 4].) Другая формулировка результата заключается в том, что если M не гомеоморфно сфере, то невозможно задать на M метрику с кривизной, зажатой в четверть. Следует отметить, что заключение неверно, если секционные кривизны могут принимать значения в замкнутом интервале [1, 4]. Стандартным контрпримером является комплексное проективное пространство с метрикой Фубини — Штуди; секционные кривизны этой метрики принимают значения между 1 и 4, включая границы. Другие контрпримеры можно найти среди симметричных пространств ранга один.
In Riemannian geometry, the sphere theorem, also known as the quarter pinched sphere theorem, strongly restricts the topology of manifolds admitting metrics with a particular curvature bound. The precise statement of the theorem is as follows. If M is a complete, simply connected, n dimensional Riemannian manifold with sectional curvature taking values in the interval then M is homeomorphic to the n sphere. (To be precise, we mean the sectional curvature of every tangent 2 plane at each point must lie in .) Another way of stating the result is that if M is not homeomorphic to the sphere, then it is impossible to put a metric on M with quarter pinched curvature. Note that the conclusion is false if the sectional curvatures are allowed to take values in the closed interval The standard counterexample is complex projective space with the Fubini–Study metric; sectional curvatures of this metric take on values between 1 and 4, with endpoints included. Other counterexamples may be found among the rank one symmetric spaces.
Теорема дифференцируемой сферы
Первоначальное доказательство теоремы о сфере не приводило к заключению, что M обязательно диффеоморфна n-сфере. Это усложнение связано с тем, что сферы в высших размерностях допускают гладкие структуры, не диффеоморфные друг другу. (Подробнее об этом см. статью об экзотических сферах.) Однако в 2007 году Саймон Брендл и Ричард Шоэн использовали поток Риччи, чтобы доказать, что при указанных выше гипотезах M обязательно диффеоморфна n-сфере с её стандартной гладкой структурой. Более того, доказательство Брендла и Шоэна использует лишь более слабое предположение о точечном, а не глобальном стягивании. Этот результат известен как теорема о дифференцируемой сфере.
The original proof of the sphere theorem did not conclude that M was necessarily diffeomorphic to the n sphere. This complication is because spheres in higher dimensions admit smooth structures that are not diffeomorphic. (For more information, see the article on exotic spheres.) However, in 2007 Simon Brendle and Richard Schoen utilized Ricci flow to prove that with the above hypotheses, M is necessarily diffeomorphic to the n sphere with its standard smooth structure. Moreover, the proof of Brendle and Schoen only uses the weaker assumption of pointwise rather than global pinching. This result is known as the differentiable sphere theorem.
История теоремы сферы
Хайнц Хопф предположил, что односвязное многообразие с зажатой сечением кривизной является сферой. В 1951 году Гарри Раух показал, что односвязное многообразие с кривизной в интервале [3/4, 1] гомеоморфно сфере. В 1960 году Марсель Бергер и Вильгельм Клингенберг доказали топологическую версию теоремы о сфере с оптимальной константой зажатия. Бергер обсуждает историю этой теоремы в своей книге «Панорамный вид римановой геометрии», впервые опубликованной в 2003 году.
Heinz Hopf conjectured that a simply connected manifold with pinched sectional curvature is a sphere. In 1951, Harry Rauch showed that a simply connected manifold with curvature in [3/4,1] is homeomorphic to a sphere. In 1960, both Marcel Berger and Wilhelm Klingenberg proved the topological version of the sphere theorem with the optimal pinching constant. Berger discusses the history of the theorem in his book A Panoramic View of Riemannian Geometry, originally published in 2003.