Введение

Специальная аффинная кривизна, также известная как эквиаффинная кривизна или аффинная кривизна, представляет собой особый тип кривизны, определяемый для плоской кривой, который не изменяется при специальном аффинном преобразовании (аффинном преобразовании, сохраняющем площадь). Кривые постоянной эквиаффинной кривизны k являются точно всеми невырожденными плоскостными коническими. Те, для которых k > 0, являются эллипсами, те, для которых k = 0, являются параболами, а те, для которых k < 0, являются гиперболами. Обычная евклидова кривизна кривой в точке — это кривизна её оскулирующего круга, единственного круга, имеющего второй порядок касания (то есть касающегося кривой в трех точках) в этой точке. Аналогично, специальная аффинная кривизна кривой в точке P — это специальная аффинная кривизна её гипероскулирующей конической, единственной конической, имеющей четвертый порядок касания (то есть касающейся кривой в пяти точках) в точке P. Иными словами, это предельное положение (единственной) конической, проходящей через P и четыре точки P1, P2, P3, P4 на кривой, при стремлении каждой из этих точек к P:

В некоторых контекстах аффинная кривизна относится к дифференциальному инварианту κ общей аффинной группы, который можно легко получить из специальной аффинной кривизны k по формуле κ = k/ds, где s — длина дуги в специальной аффинной метрике. Если общая аффинная группа не используется, специальная аффинная кривизна k иногда также называется просто аффинной кривизной.

Аффиновые кривизны

Предположим, как и выше, что β(s) — кривая, параметризованная специальной аффинной длиной дуги. Существует пара инвариантов этой кривой, которые инвариантны относительно полной общей аффинной группы — группы всех аффинных движений плоскости, а не только сохраняющих площадь. Первый из них иногда называют аффинной длиной дуги (хотя это может привести к путанице со специальной аффинной длиной дуги, описанной выше). Второй называется аффинной кривизной:

Моторная система человека

Человеческие криволинейные двумерные движения при рисовании, как правило, подчиняются равноаффинной параметризации. Это более известно как закон двух третей, согласно которому скорость движения руки пропорциональна евклидовой кривизне в минус третьей степени. А именно:

где v – скорость руки, κ – евклидова кривизна, а γ – константа, называемая коэффициентом усиления скорости.