Введение
В пропозициональной логике modus ponens (['/m//oʊ//d//ə//s//'/p//oʊ//n//ɛ//n//z/; MP]), также известный как modus ponendo ponens, устранение импликации или утверждение антецедента, является дедуктивной формой аргументации и правилом вывода. Его можно сформулировать следующим образом: "Если P, то Q. P истинно. Следовательно, Q также истинно". Modus ponens – смешанный гипотетический силлогизм, тесно связанный с другой допустимой формой аргументации, modus tollens. Обе формы имеют внешне похожие, но недействительные аналоги: подтверждение консеквента и отрицание антецедента. Конструктивная дилемма является дизъюнктивной версией modus ponens. История modus ponens уходит корнями в античность. Первым, кто явно описал форму аргумента modus ponens, был Теофраст. Он, вместе с modus tollens, является одним из стандартных шаблонов вывода, которые могут быть применены для получения цепочек заключений, ведущих к желаемой цели.
In propositional logic, modus ponens ('/m//oʊ//d//ə//s// /'/p//oʊ//n//ɛ//n//z/; MP), also known as modus ponendo ponens , implication elimination, or affirming the antecedent, is a deductive argument form and rule of inference. It can be summarized as "P implies Q. P is true. Therefore, Q must also be true." Modus ponens is a mixed hypothetical syllogism and is closely related to another valid form of argument, modus tollens. Both have apparently similar but invalid forms: affirming the consequent and denying the antecedent. Constructive dilemma is the disjunctive version of modus ponens. The history of modus ponens goes back to antiquity. The first to explicitly describe the argument form modus ponens was Theophrastus. It, along with modus tollens, is one of the standard patterns of inference that can be applied to derive chains of conclusions that lead to the desired goal.
Статус
Хотя modus ponens является одной из наиболее часто используемых форм аргументации в логике, его не следует путать с логическим законом; скорее, это один из общепринятых механизмов построения дедуктивных доказательств, включающий в себя "правило определения" и "правило подстановки". Modus ponens позволяет исключить условное высказывание из логического доказательства или аргумента (антецеденты) и, таким образом, не переносить эти антецеденты в бесконечно удлиняющуюся последовательность символов; по этой причине modus ponens иногда называют правилом отсечения или законом отсечения. Эндертон, например, отмечает, что "modus ponens может генерировать более короткие формулы из более длинных", а Рассел замечает, что "процесс вывода нельзя свести к символам. Единственным его отражением является появление ⊦q [следствия]; вывод – это отбрасывание истинной посылки; это разрушение импликации". Обоснование "доверия к выводу" заключается в убеждении, что если два предшествующих утверждения [антецеденты] не содержат ошибок, то и конечное утверждение [следствие] не содержит ошибок.
Алгебраическая семантика
В математической логике алгебраическая семантика рассматривает каждое предложение как имя элемента в упорядоченном множестве. Обычно это множество можно представить в виде решеткообразной структуры с единственным элементом ("всегда истина") вверху и другим единственным элементом ("всегда ложь") внизу. Логическая эквивалентность становится отождествлением, так что, когда и , например, эквивалентны (как это принято), то логическая импликация сводится к вопросу относительного положения: логически следует из тогда и только тогда, когда , то есть, когда либо либо находятся ниже и соединены с ним восходящей цепью. В этом контексте, утверждение, что и вместе подразумевают — то есть, подтверждение корректности modus ponens — означает, что наивысшая точка, лежащая ниже как так и , также лежит ниже , то есть, что в семантике для базовой пропозициональной логики алгебра является булевой, а интерпретируется как материальная импликация: подтверждение этого прямолинейно, поскольку и с другими интерпретациями , семантика становится сложнее, алгебра может быть небулевой, и корректность modus ponens нельзя считать само собой разумеющейся.
Расчет вероятности
Если α и β, то γ должно лежать в интервале [0, π/2]. Для частного случая γ = π/2, α должно быть равно 0.
Предполагаемые случаи неисправности
Философы и лингвисты выявили различные случаи, когда modus ponens, по-видимому, не работает. Ван МакГи, например, утверждал, что modus ponens может не работать для условных высказываний, последствия которых сами являются условными. Вот пример: "Гамлета" написал либо Шекспир, либо Гоббс. Если "Гамлета" написал либо Шекспир, либо Гоббс, то если Шекспир этого не сделал, то это сделал Гоббс. Следовательно, если Шекспир не написал "Гамлета", то это сделал Гоббс. Поскольку Шекспир написал "Гамлета", первая предпосылка верна. Вторая предпосылка также верна, поскольку, исходя из множества возможных авторов, ограниченного только Шекспиром и Гоббсом, исключение одного из них оставляет только другого. Однако вывод сомнительный, поскольку исключение Шекспира как автора "Гамлета" оставило бы множество других возможных кандидатов, многие из которых представляются более правдоподобными альтернативами, чем Гоббс (если условные высказывания в этом рассуждении интерпретировать как материальные импликации, то вывод будет истинным просто из-за ложности антецедента. Это один из парадоксов материальной импликации). Общая форма контрпримеров типа МакГи к modus ponens имеет вид , следовательно, ; необязательно, чтобы было дизъюнкцией, как в приведенном примере. То, что подобные случаи представляют собой случаи неработоспособности modus ponens, остается спорным вопросом среди логиков, но мнения о том, как следует поступать с этими случаями, расходятся. В деонтической логике некоторые примеры условных обязательств также поднимают вопрос о возможности неработоспособности modus ponens. Это случаи, когда условная предпосылка описывает обязательство, основанное на аморальном или неблагоразумном действии, например: "Если Доу убьет свою мать, он должен сделать это аккуратно", для которого сомнительным безусловным выводом будет: "Доу должен аккуратно убить свою мать". Похоже, что если Доу действительно аккуратно убивает свою мать, то, согласно modus ponens, он делает именно то, что должен делать, безоговорочно. Вновь, неработоспособность modus ponens не является общепринятым объяснением, но иногда приводится в качестве аргумента.
Either Shakespeare or Hobbes wrote Hamlet. If either Shakespeare or Hobbes wrote Hamlet, then if Shakespeare did not do it, Hobbes did. Therefore, if Shakespeare did not write Hamlet, Hobbes did it. Since Shakespeare did write Hamlet, the first premise is true. The second premise is also true, since starting with a set of possible authors limited to just Shakespeare and Hobbes and eliminating one of them leaves only the other. However, the conclusion is doubtful, since ruling out Shakespeare as the author of Hamlet would leave numerous possible candidates, many of them more plausible alternatives than Hobbes (if the if thens in the inference are read as material conditionals, the conclusion comes out true simply by virtue of the false antecedent. This is one of the paradoxes of material implication). The general form of McGee type counterexamples to modus ponens is simply , therefore, ; it is not essential that be a disjunction, as in the example given. That these kinds of cases constitute failures of modus ponens remains a controversial view among logicians, but opinions vary on how the cases should be disposed of. In deontic logic, some examples of conditional obligation also raise the possibility of modus ponens failure. These are cases where the conditional premise describes an obligation predicated on an immoral or imprudent action, e. g., "If Doe murders his mother, he ought to do so gently," for which the dubious unconditional conclusion would be "Doe ought to gently murder his mother." It would appear to follow that if Doe is in fact gently murdering his mother, then by modus ponens he is doing exactly what he should, unconditionally, be doing. Here again, modus ponens failure is not a popular diagnosis but is sometimes argued for.
Возможные заблуждения
Ошибка утверждения следствия — распространённая ошибка в рассуждениях, основанная на неправильном понимании modus ponens.